Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
=
=
M
y
x
N
x
x
M
y
N
x
10 10; ;
d x x y y( )
3 2
5 0+ - =
— урав не ние в пол ных диф фе рен циа лах.
Об щий ин те грал:
( )x x y y C
3 2
5+ - =
При мер 3:
x ydx xy dy
2
5 1- + =( ) 0
=
= -
M
y
x
N
x
y
2
5;
то есть
¹
M
y
N
x
— это урав не ние не в пол ных диф фе рен циа лах.
2.5.3 Урав не ния 1-го по ряд ка, не раз ре шен ные
от но си тель но про из вод ной
Пусть в не ко то рой об лас ти D за да но урав не ние
F x y y( , , )
¢
= 0
, ко то -
рое не яв но за да ет мно же ст во зна че ний
¢
y
:
y f x y y f x y y f x y
n
¢= ¢= ¢=
1
2
( , ); ( , ); . . . ( , );
.
Их мож но рас смат ри вать как по ле на прав ле ний урав не ния
F x y y( , , )
¢
= 0
.
Ес ли
j j j
1
2
0 0 0( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )x y C x y C x y C
n
= = =
— об щие ин те гра лы
в об лас ти D, то они на зы ва ют ся об щим ин те гра лом урав не ния
F x y y( , , )
¢
= 0
в об лас ти D.
При мер 1:
y xy¢ - ¢=
2
2 0
— урав не ние не раз ре ша ет ся от но си тель -
но y'.
Пусть:
¢
=y 0
; то гда:
¢
=y x2
.
Об щее ре ше ние:
y C=
;
y x C= +
2
По ле на прав ле ний:
¢
=y 0
;
¢
=y x2
.
Раз ре шать урав не ния от но си тель но
¢
y
уда ет ся лишь в про стей ших
слу ча ях.
1) Урав не ния, не со дер жа щие яв но ис ко мой функ ции
F x y( , )
¢
= 0
.
Бу дем рас смат ри вать
¢
y
как па ра метр:
¢
=y t
. Пусть
y x= j( )
— ре -
ше ние урав не ния:
x f y= ¢( )
, то есть
x f t= ( )
.
31
                             ¶M           ¶N          ¶M ¶N
                                 = 10 x ;    = 10 x ;     =
                              ¶y          ¶x           ¶y   ¶x

         d( x 3 + 5 x 2 y - y ) = 0 — уравнение в полных дифференциалах.
         Общий интеграл: ( x 3 + 5 x 2 y - y ) = C

         Пример 3: x 2 ydx - (5 xy +1)dy = 0
                                     ¶M                  ¶N
                                         = x2;              = - 5y
                                      ¶y                 ¶x
          ¶M ¶N
то есть       ¹    — это уравнение не в полных дифференциалах.
           ¶y   ¶x

         2.5.3 Уравнения 1-го порядка, не разрешенные
         относительно производной

      Пусть в некоторой области D задано уравнение F ( x , y , y ¢) = 0, кото-
рое неявно задает множество значений y ¢:
                      y ¢ = f1 ( x , y ); y ¢ = f 2 ( x , y ); ... ; y ¢ = f n ( x , y ).
           Их можно рассматривать как поле направлений уравнения
F ( x , y , y ¢) = 0.
           Если j1 ( x , y ,C ) = 0; j 2 ( x , y ,C ) = 0; j n ( x , y ,C ) = 0 — общие интегралы
в области D, то они называются общим интегралом уравнения
F ( x , y , y ¢) = 0 в области D.

         Пример 1: y ¢ 2 -2 xy ¢ = 0 — уравнение не разрешается относитель-
но y'.
     Пусть: y ¢ = 0; тогда: y ¢ = 2 x .
     Общее решение: y = C; y = x 2 + C
     Поле направлений: y ¢ = 0; y ¢ = 2 x .
     Разрешать уравнения относительно y ¢ удается лишь в простейших
случаях.

    1) Уравнения, не содержащие явно искомой функции
    F ( x , y ¢) = 0.
    Будем рассматривать y ¢ как параметр: y ¢ = t. Пусть y = j( x ) — ре-
шение уравнения: x = f (y ¢ ), то есть x = f (t ).

                                                                                              31

Страницы