Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C x Q x e dx C
P x dx
( ) ( )
( )
=
ò
+
ò
Та ким об ра зом:
y e Q x e dx C
P x dx P x dx
=
ò ò
+
-
ò
( ) ( )
( ( ) )
.
Это об щее ре ше ние не од но род но го урав не ния (3).
Не труд но ви деть, что об щее ре ше ние ли ней но го не од но род но го
урав не ния рав но сум ме об ще го ре ше ния со от вет ст вую ще го од но род но -
го урав не ния (
Ce
P x dx-
ò
( )
) и ча ст но го ре ше ния дан но го не од но род но го
урав не ния (
e Q x e dx
P x dx P x dx-
ò ò
ò
( ) ( )
( ( ) )
).
При мер:
y xy x e
x
¢- = +2 1
2
( )
— ли ней ное не од но род ное урав не ние.
P x x( ) = -2
;
Q x x e
x
( ) ( )= +1
2
.
Ре ша ем од но род ное урав не ние:
y xy¢- =2 0
dy
y
xdx= 2
;
ln| | ln| |y x C= +
2
;
y Ce
x
=
2
.
Об щее ре ше ние ищем в ви де:
y C x e
x
= ( )
2
y C x e C x xe
x x
¢= ¢ +( ) ( )
2 2
2
— под став ля ем в не од но род ное урав не -
ние. Со кра ща ем по доб ные чле ны:
C x e x e
x x
¢ = +( ) ( )
2 2
1
, от ку да:
C x x C x
x
C¢ = + =
+
+( ) ; ( )
( )
1
1
2
2
Об щее ре ше ние:
y
x
C e
x
=
+
+
é
ë
ê
ù
û
ú
×
( )1
2
2
2
.
5) Урав не ния, при во ди мые к ли ней ным
Ес ли функ ция
y x C= j( , )
яв ля ет ся об щим ре ше ни ем урав не ния
y f x y¢= ( , )
, то вы ра же ние
V y x C( ) ( , )= j
яв ля ет ся об щим ре ше ни ем урав -
не ния:
V y y f x V y¢ ¢=( ) [ , ( )]
.
Та ким об ра зом, ре ше ние лю бо го урав не ния
V y y P x V y Q x¢ ¢+ =( ) ( ) ( ) ( )
с по мо щью под ста нов ки
V y z( ) =
при во дит ся к ре ше нию ли ней но го
урав не ния.
29
                                                             P ( x ) dx
                                     C ( x ) = ò Q( x )e ò                dx + C

         Таким образом:
                                    - P ( x ) dx              P ( x ) dx
                                y =e ò           (ò Q( x )e ò            dx + C ).

      Это общее решение неоднородного уравнения (3).
      Не трудно видеть, что общее решение линейного неоднородного
уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородно-
                 - P ( x ) dx
го уравнения (Ce ò            ) и частного решения данного неоднородного
             - P ( x ) dx              P ( x ) dx
уравнения ( e ò           (ò Q( x )e ò            dx )).
                                                  2
         Пример: y ¢-2 xy = ( x +1)e x — линейное неоднородное уравнение.
                                                                                   2
                                  P ( x ) = -2 x ; Q( x ) = ( x +1)e x .
         Решаем однородное уравнение: y ¢-2 xy = 0
                             dy                                            2
                                = 2 xdx ; ln| y | = x 2 + ln| C |; y = Ce x .
                              y
                                                                             2
         Общее решение ищем в виде: y = C ( x )e x
                         2                 2
         y ¢ = C ¢ ( x )e x + C ( x )2 xe x — подставляем в неоднородное уравне-
                                                                     2                 2
ние. Сокращаем подобные члены: C ¢ ( x )e x = ( x +1)e x , откуда:
                                                                 ( x +1) 2
                                 C ¢ ( x ) = x +1; C ( x ) =               +C
                                                                     2
                            é( x +1) 2   ù 2
         Общее решение: y = ê          +Cú×e x .
                            ë 2          û

          5) Уравнения, приводимые к линейным
          Если функция y = j( x ,C ) является общим решением уравнения
y ¢ = f ( x , y ), то выражение V (y ) = j( x ,C ) является общим решением урав-
нения: V ¢ (y )y ¢ = f [ x ,V (y )].
          Таким образом, решение любого уравнения
                                     V ¢ (y )y ¢+P ( x )V (y ) = Q( x )
с помощью подстановки V (y ) = z приводится к решению линейного
уравнения.
                                                                                           29

Страницы