Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Та ким об ра зом:
x t
t
C
y t t
= - +
= +
ì
í
ï
î
ï
ln
ln
1
.
2.5.4 Осо бые ре ше ния
Оп ре де ле ние: Бу дем на зы вать внут рен нюю точ ку (x
0
,y
0
) об лас ти D
обык но вен ной точ кой урав не ния
y f x y¢= ( , )
, ес ли су ще ст ву ет ок ре ст -
ность этой точ ки, в ко то рой вы пол ня ют ся ус ло вие тео ре мы Ко ши.
Гра нич ные точ ки об лас ти D, а так же те внут рен ние точ ки, ко то -
рые не яв ля ют ся обык но вен ны ми, бу дем на зы вать осо бы ми точ ка ми
дан но го урав не ния. Бу дем на зы вать ре ше ние урав не ния
y f x y¢= ( , )
осо -
бым, ес ли в ка ж дой его точ ке на ру ше но ус ло вие ес те ст вен но сти, то есть
ес ли че рез ка ж дую его точ ку про хо дит бо лее од ной ин те граль ной кри -
вой.
При мер:
y y f x y y¢= =3 3
2 2
; ( , )
— не пре рыв на в плос ко сти XOY;
¢
=f
y
y
2
— не пре рыв на всю ду, кро ме то чек
y = 0
— осо бые точ ки.
В ка ж дой осо бой точ ке (x
0
,0) — на ру ше ние един ст вен но сти ре ше -
ния.
Че рез эти точ ки про хо дит ку би че ская па ра бо ла:
y x C= +( )
3
и пря -
мая
y = 0
.
Для на хо ж де ния осо бых ре ше ний на до вве сти по ня тие се мей ст ва
кри вых.
1) Оги баю щая се мей ст ва кри вых
Пусть да ны урав не ния
F( , , )x y C = 0
, где C — па ра метр, из ме няю -
щий ся в не ко то рых пре де лах.
Ка ж до му па ра мет ру
C C=
0
со от вет ст ву ет кри вая
F( , , )x y C
0
0=
.
Мно же ст во всех та ких кри вых на зы ва ет ся од но па ра мет ри че ским
се мей ст вом кри вых, за дан ных урав не ни ем
F( , , )x y C = 0
.
При мер 1:
y x C- + =0
— се мей ст во пря мых с уг ло вым ко эф фи ци -
ен том, рав ным 1.
При мер 2:
x y C+ =
— се мей ст во кон цен три че ских ок руж но стей.
Оп ре де ле ние 1: Оги баю щей се мей ст ва кри вых
F( , , )x y C = 0
на зы ва ет -
ся кри вая, ко то рая в ка ж дой сво ей точ ке ка са ет ся ка ж дой кри вой се мей -
ст ва.
33
                      ì             1
                      ï x = ln t - + C
       Таким образом: í              t .
                      ïî y = t + ln t


       2.5.4 Особые решения

      Определение: Будем называть внутреннюю точку (x0,y0) области D
обыкновенной точкой уравнения y ¢ = f ( x , y ), если существует окрест-
ность этой точки, в которой выполняются условие теоремы Коши.
      Граничные точки области D, а также те внутренние точки, кото-
рые не являются обыкновенными, будем называть особыми точками
данного уравнения. Будем называть решение уравнения y ¢ = f ( x , y ) осо-
бым, если в каждой его точке нарушено условие естественности, то есть
если через каждую его точку проходит более одной интегральной кри-
вой.
      Пример: y ¢ = 3 y 2 ; f ( x , y ) = 3 y 2 — непрерывна в плоскости XOY;
             2
      f y¢ =    — непрерывна всюду, кроме точек y = 0 — особые точки.
              y
       В каждой особой точке (x0,0) — нарушение единственности реше-
ния.
      Через эти точки проходит кубическая парабола: y = ( x + C ) 3 и пря-
мая y = 0.
      Для нахождения особых решений надо ввести понятие семейства
кривых.

      1) Огибающая семейства кривых
      Пусть даны уравнения F( x , y ,C ) = 0, где C — параметр, изменяю-
щийся в некоторых пределах.
      Каждому параметру C = C 0 соответствует кривая F( x , y ,C 0 ) = 0.
      Множество всех таких кривых называется однопараметрическим
семейством кривых, заданных уравнением F( x , y ,C ) = 0.
      Пример 1: y - x + C = 0 — семейство прямых с угловым коэффици-
ентом, равным 1.
      Пример 2: x + y = C — семейство концентрических окружностей.
      Определение 1: Огибающей семейства кривых F( x , y ,C ) = 0 называет-
ся кривая, которая в каждой своей точке касается каждой кривой семей-
ства.
                                                                          33

Страницы