Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Тре бу ет ся со ста вить диф фе рен ци аль ное урав не ние, для ко то ро го
кри вые это го се мей ст ва бу дут ин те граль ны ми кри вы ми.
Про диф фе рен ци ру ем урав не ние (6) по x:
¢
+
¢
¢=F F
x y
x y C x y C y( , , ) ( , , ) 0
(7)
Ис клю чим из (6) и (7) па ра метр C. По лу чим со от но ше ние:
F x y y( , , )¢ = 0
— это урав не ние на зы ва ет ся диф фе рен ци аль ным урав не ни ем
дан но го се мей ст ва кри вых.
При мер: Урав не ние се мей ст ва:
y C Ce
x
- =
. Диф фе рен ци ру ем по x:
y Ce
x
¢=
.
Ис клю ча ем C:
y C Ce
y Ce
x
x
- =
¢=
ì
í
î
От ку да:
y C y- = ¢
;
C y y= - ¢
;
y y y e
x
¢= - ¢( )
— это диф фе рен ци аль ное
урав не ние дан но го се мей ст ва кри вых.
4) За да ча об изо го наль ных тра ек то ри ях
Рас смот рим од но па ра мет ри че ское се мей ст во кри вых. При чем,
че рез ка ж дую точ ку об лас ти D про хо дит толь ко од на кри вая.
Оп ре де ле ние 4: Изо го наль ной тра ек то ри ей та ко го се мей ст ва кри -
вых на зы ва ет ся кри вая, пе ре се каю щая ка ж дую кри вую се мей ст ва под
од ним и тем же уг лом w. В ча ст но сти, ес ли
w p= 2
, тра ек то рия на зы ва ет -
ся ор то го наль ной.
Пусть M(x,y) — точ ка изо го наль ной тра ек то рии. Обо зна чим че рез
a и j уг лы на кло на ка са тель ных
a j w= +
;
tg tga j w= +( )
, то есть ес ли
w p¹ 2
, то
tg
tg tg
tg tg
a
j w
j w
=
+
-1
. Ес ли
w p= 2
, то
tg ctg
tg
a j
j
= - = -
1
, так как
¢
=y
изог.траект.
tga
;
¢
=y
кривой
tgj
то
¢
=
¢
+
-
¢
y
y k
ky
из.тр..
кр.
кр.
1
, где
k = tgw
; ес ли
w p= 2
, то
¢
= -
¢
y
y
из.тр.
кр.
1
.
Пусть
y f x y¢= ( , )
— диф фе рен ци аль ное урав не ние дан но го се -
мей ст ва кри вых.
F( , , )x y C =0
, так как точ ка M при над ле жит се мей ст ву
кри вых, то
¢
=y f x y
кривой
( , )
, зна чит
¢
=
+
-
y
f x y k
kf x y
из.тр.
( , )
( , )1
; ес ли
w p= 2
, то
35
     Требуется составить дифференциальное уравнение, для которого
кривые этого семейства будут интегральными кривыми.
     Продифференцируем уравнение (6) по x:
        F¢x ( x , y ,C ) + F¢y ( x , y ,C )y ¢ = 0                                        (7)
           Исключим из (6) и (7) параметр C. Получим соотношение:
F ( x , y , y ¢ ) = 0 — это уравнение называется дифференциальным уравнением
данного семейства кривых.
           Пример: Уравнение семейства: y - C = Ce x . Дифференцируем по x:
y ¢ = Ce x .
                              ì y - C = Ce x
           Исключаем C: í                x
                              î y ¢ = Ce
     Откуда: y - C = y ¢; C = y - y ¢; y ¢ = (y - y ¢ )e x — это дифференциальное
уравнение данного семейства кривых.

      4) Задача об изогональных траекториях
      Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых. Причем,
через каждую точку области D проходит только одна кривая.

          Определение 4: Изогональной траекторией такого семейства кри-
вых называется кривая, пересекающая каждую кривую семейства под
одним и тем же углом w. В частности, если w = p 2, траектория называет-
ся ортогональной.
          Пусть M(x,y) — точка изогональной траектории. Обозначим через
a и j углы наклона касательных a = j + w; tga = tg (j + w), то есть если
                          tgj + tgw                                              1
w ¹ p 2, то tga =                   . Если w = p 2, то tga = -ctgj = -             , так как
                        1 - tgj tgw                                             tgj
                                                     y кр.
                                                       ¢ +k
y изог.траект.
  ¢            = tga; y кривой
                        ¢      = tgj то y из.тр..
                                          ¢       =            , где k = tgw; если w = p 2, то
                                                    1 - ky кр.
                                                           ¢
               1
y из.тр.
  ¢      =-         .
              y кр.
                ¢
     Пусть y ¢ = f ( x , y ) — дифференциальное уравнение данного се-
мейства кривых. F( x , y ,C ) = 0, так как точка M принадлежит семейству
                                                       f ( x,y) + k
кривых, то y кривой
             ¢       = f ( x , y ), значит y из.тр.
                                             ¢      =                 ; если w = p 2, то
                                                      1 - kf ( x , y )

                                                                                           35

Страницы