Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер 3: се мей ст во си ну со ид:
y x C= +sin( )
. Оги баю щая:
y = ±1
.
Не вся кое се мей ст во кри вых име ет оги баю щую:
y x C- + =0
,
x y C
2 2
+ =
— здесь нет оги баю щей.
Оп ре де ле ние 2: Ес ли се мей ст во кри вых
F( , , )x y C = 0
име ет оги баю -
щую, то она вхо дит в со став дис кри ми нант ной кри вой се мей ст ва, то есть
кри вой, урав не ние ко то рой по лу ча ет ся по сле ис клю че ния па ра мет ра С
из двух урав не ний:
F
F
( , , )
( , , )
x y C
x y C
c
=
¢
=
ì
í
î
0
0
Кро ме оги баю щей в со став дис кри ми нант ной кри вой мо гут вхо -
дить и осо бые точ ки кри вых се мей ст ва, то есть точ ки где
¢
=F
x
x y C( , , ) 0
,
¢
=F
y
x y C( , , ) 0
.
При мер: Се мей ст во по лу ку би че ских па ра бол:
( ) ( )y C x C- - - =
2 3
0
Про диф фе рен ци ру ем по C и ре шим сис те му урав не ний:
( ) ( )
( ) ( )
y C x C
y C x C
- - - =
- - + - =
ì
í
î
2 3
2
0
2 3 0
а)
x C y C- = - =0 0;
; то есть
y x=
б)
x C y C- = - =4 9 8 27;
; то есть
y x= - 4 27
Это урав не ния двух дис кри ми нант ных пря мых.
2) Осо бые ре ше ния диф фе рен ци аль ных урав не ний, как оги баю -
щие ин те граль ных кри вых
Оп ре де ле ние 3: Ес ли од но па ра мет ри че ское се мей ст во ин те граль -
ных кри вых
F( , , )x y C = 0
диф фе рен ци аль но го урав не ния
y f x y¢= ( , )
име ет
оги баю щую, то эта оги баю щая яв ля ет ся осо бым ре ше ни ем дан но го
урав не ния.
Дей ст ви тель но, в ка ж дой сво ей точ ке оги баю щая ка са ет ся ка ж дой
ин те граль ной кри вой. Это зна чит, что в ка ж дой точ ке оги баю щей су ще -
ст ву ет ре ше ние диф фе рен ци аль но го урав не ния
y f x y¢= ( , )
. И так как че -
рез эту точ ку, кро ме са мой оги баю щей, про хо дит и ин те граль ная кри -
вая, то в этой точ ке на ру ша ет ся един ст вен ность ре ше ния, зна чит, оги -
баю щая се мей ст ва ин те граль ных кри вых изо бра жа ет осо бое решение.
3) Со став ле ние диф фе рен ци аль но го урав не ния по од но па ра мет -
ри чес-ко му се мей ст ву кри вых
Об рат ная за да ча: да но од но па ра мет ри че ское се мей ст во кри вых.
F( , , )x y C =0
(6)
34
        Пример 3: семейство синусоид: y = sin( x + C ). Огибающая: y = ±1.
        Не всякое семейство кривых имеет огибающую: y - x + C = 0,
x 2 + y 2 = C — здесь нет огибающей.
        Определение 2: Если семейство кривых F( x , y ,C ) = 0 имеет огибаю-
щую, то она входит в состав дискриминантной кривой семейства, то есть
кривой, уравнение которой получается после исключения параметра С
                      ì F( x , y ,C ) = 0
из двух уравнений: í
                      î F¢c ( x , y ,C ) = 0
          Кроме огибающей в состав дискриминантной кривой могут вхо-
дить и особые точки кривых семейства, то есть точки где F¢x ( x , y ,C ) = 0,
F¢y ( x , y ,C ) = 0.
          Пример: Семейство полукубических парабол: (y - C ) 2 - ( x - C ) 3 = 0
          Продифференцируем по C и решим систему уравнений:
                           ì(y - C ) 2 - ( x - C ) 3 = 0
                           í                          2
                           î -2(y - C ) + 3( x - C ) = 0
      а) x - C = 0; y - C = 0; то есть y = x
      б) x - C = 4 9; y - C = 8 27; то есть y = x - 4 27
      Это уравнения двух дискриминантных прямых.

      2) Особые решения дифференциальных уравнений, как огибаю-
щие интегральных кривых
      Определение 3: Если однопараметрическое семейство интеграль-
ных кривых F( x , y ,C ) = 0 дифференциального уравнения y ¢ = f ( x , y ) имеет
огибающую, то эта огибающая является особым решением данного
уравнения.
      Действительно, в каждой своей точке огибающая касается каждой
интегральной кривой. Это значит, что в каждой точке огибающей суще-
ствует решение дифференциального уравнения y ¢ = f ( x , y ). И так как че-
рез эту точку, кроме самой огибающей, проходит и интегральная кри-
вая, то в этой точке нарушается единственность решения, значит, оги-
бающая семейства интегральных кривых изображает особое решение.

     3) Составление дифференциального уравнения по однопарамет-
ричес-кому семейству кривых
     Обратная задача: дано однопараметрическое семейство кривых.
      F( x , y ,C ) = 0                                                     (6)

34

Страницы