Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

¢
= -y
f x y
из.тр.
1
( , )
— это диф фе рен ци аль ное урав не ние ор то го наль ной тра -
ек то рии.
При мер: Да но се мей ст во кри вых:
y Ce
x
=
. Най ти ор то го наль ную
тра ек то рию. Диф фе рен ци аль ное урав не ние се мей ст ва кри вых:
y Ce
x
¢=
.
То есть
y y= ¢
, от сю да со став ля ем диф фе рен ци аль ное урав не ние
ор то го наль ной тра ек то рии
y
y
¢= -
1
. Ин тег ри руя по лу чим:
y
x C
2
2
= - +
—
это се мей ст во па ра бол.
За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты:
1) Ре шить диф фе рен ци аль ные урав не ния пер во го по ряд ка:
а)
x y y x y y
2 2 2
¢
- =
¢
б)
¢
=y x y n
в)
¢
=y ky
г)
¢
= -y k a by y( )
2) Ре шить диф фе рен ци аль ные урав не ния вто ро го по ряд ка:
а)
¢¢
= -
¢
y y y2
3
( )
б)
¢¢
=
¢
+y y( )
2
1
в)
¢¢
-
¢
-
¢
= -y y y
yy
x
x x y( ) ( )
2 2 2
3
6 3
г)
¢¢
- =y y4 0
д)
¢¢
- +
¢
=y y2 0
                  1
y из.тр.
  ¢      =-            — это дифференциальное уравнение ортогональной тра-
              f ( x,y)
ектории.
      Пример: Дано семейство кривых: y = Ce x . Найти ортогональную
траекторию. Дифференциальное уравнение семейства кривых:
                                   y ¢ = Ce x .
      То есть y = y ¢, отсюда составляем дифференциальное уравнение
                                  1                    y2
ортогональной траектории y ¢ = - . Интегрируя получим:    = -x +C —
                                  y                    2
это семейство парабол.

       Задания для самостоятельной работы:

       1) Решить дифференциальные уравнения первого порядка:
       а) x 2 y ¢ - y 2 = x 2 y y ¢
       б) y ¢x = y n
       в) y ¢ = ky
       г) y ¢ = k(a - by )y

       2) Решить дифференциальные уравнения второго порядка:
       а) y ¢¢ = -2 y (y ¢) 3
       б) y ¢¢ = (y ¢) 2 +1
                            3yy ¢
       в) y ¢¢y - (y ¢) 2 -       = (6 x - 3 x 2 )y 2
                              x
       г) y ¢¢ - 4y = 0
       д) y ¢¢ - 2 + y ¢ = 0

Страницы