Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

По ляр ный ра ди ус
r
на зы ва ет ся мо ду лем ком плекс но го чис ла и
обо зна ча ет ся че рез
| |z = r
; j на зы ва ет ся ар гу мен том ком плекс но го чис ла
и обо зна ча ет ся
Argz
Ес ли мы пи шем
Argz
, то бе рёт ся глав ное зна че ние уг ла
( )0 2 2£ < = +Arg Argz z kp j p
.
Так как
x = r jcos ;
y = r jsin
, то
z x iy i i= + = + = +r j r j r j jcos sin (cos sin )
—
это три го но мет ри че ская фор ма ком плекс но го чис ла;
r j= = + =| | ;z x y
y
x
2 2
tg
При мер:
z i i= + = +
æ
è
ç
ö
ø
÷
2 2 3 4
3 3
cos sin
p p
3) Гео мет ри че ская ин тер пре та ция сло же ния ком плекс ных чи сел
Ес ли да ны два ком плекс ных чис ла z
1
и z
2
то мы мо жем изо бра зить
их век то ра ми oz
1
и oz
2
. Их сум ма есть век тор
z oz z z
3 3
1
2
= = +
по пра ви лу
сло же ния век то ров.
4) Дей ст вия над ком плекс ны ми чис ла ми
Пусть:
z i z i
1 1 1 1
2 2 2 2
= + = +r j j r j j(cos sin ); (cos sin ).
а) Ум но же ние:
z z i i
1
2
1
2
1 1
2 2
1
2
1
= + + =
=
r r j j j j
r r j
(cos sin )(cos sin )
(cos cos sin cos cos sin sin sin )
(cos
j j j j j j j
r r
2
1
2
1
2
1
2
1
2
+ + - =
=
i i
[ ]
j j j j j j j j
r r
1
2
1
2
1
2 2 2
1
2
cos sin sin ) (sin cos cos sin )- + + =
=
i
[ ]
cos( ) sin( )j j j j
1
2
1
2
+ + +i
То есть при ум но же нии ком плекс ных чи сел их мо ду ли пе ре мно -
жа ют ся:
| | | || |z z z z
1
2
1
2
1
2
= = ×r r
,
а ар гу мен ты скла ды ва ют ся:
Arg Arg Ar g( )z z z z
1
2
1
2
= +
.
Гео мет ри че ский смысл ум но же ния: век тор
oz
1
по во ра чи ва ет ся
про тив ча со вой стрел ки на угол
j
2
и его ве ли чи на уве ли чи ва ет ся в
r
2
раз, т. е. ум но же ние на
i
— это по во рот на угол
p
2
:
p p p
2
1
2 2
× = +
æ
è
ç
ö
ø
÷
i icos sin
.
38
        Полярный радиус r называется модулем комплексного числа и
обозначается через | z| = r; j называется аргументом комплексного числа
и обозначается Argz
        Ес ли мы пи шем Argz, то бе рёт ся глав ное зна че ние уг ла
(0 £ Argz < 2 p) Argz = j + 2 pk.
        Так как x = rcos j; y = r sin j, то
                   z = x + iy = rcos j + ir sin j = r(cos j + i sin j) —
это тригонометрическая форма комплексного числа;
                                                              y
                               r =| z| = x 2 + y 2 ; tgj =
                                                              x
                                       æ     p         pö
        Пример: z = 2 + 2 3i = 4ç cos + i sin ÷
                                       è     3         3  ø
        3) Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел
        Если даны два комплексных числа z1 и z2 то мы можем изобразить
их векторами oz1 и oz2. Их сумма есть вектор z3 = oz3 = z1 + z2 по правилу
сложения векторов.
        4) Действия над комплексными числами
        Пусть: z1 = r1 (cos j1 + i sin j1 ); z2 = r 2 (cos j 2 + i sin j 2 ).
        а) Умножение:
  z1 z2 = r1 r 2 (cos j1 + i sin j1 )(cos j 2 + i sin j 2 ) =
      = r1 r 2 (cos j1 cos j 2 + i sin j1 cos j 2 + i cos j1 sin j 2 - sin j1 sin j 2 ) =
      = r1 r 2 [(cos j1 cos j 2 - sin j1 sin j 2 ) + i(sin j1 cos j 2 + cos j 2 sin j 2 )] =
      = r1 r 2 [cos(j1 + j 2 ) + i sin(j1 + j 2 )]
       То есть при умножении комплексных чисел их модули перемно-
жаются:
                            | z1 z2 | = r1 r 2 =| z1 |×| z2 |,
а аргументы складываются:
                          Arg ( z1 z2 ) = Argz1 + Argz2 .
       Геометрический смысл умножения: вектор oz1 поворачивается
против часовой стрелки на угол j 2 и его величина увеличивается в r 2
                                                               p
раз, т. е. умножение на i — это поворот на угол :
                                                               2
                                p        æ    p       pö
                                  × i = 1ç cos + i sin ÷.
                                2        è    2       2ø

38

Страницы