Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
2.6.1 Ком плекс ные чис ла
1) Ком плекс ны ми чис лом на зы ва ет ся вы ра же ние
z x iy= +
где x и
y — дей ст ви тель ные чис ла, а
i
— мни мая еди ни ца,
i = -1.
Ком плекс ные чис ла
z x y i z x y i
1 1 1
2 2 2
= + = +,
на зы ва ют ся рав ны -
ми, ес ли
x x y y
1
2
1
2
= =;
.
Чис ло
z x iy
*
= -
на зы ва ет ся ком плекс но-со пря жен ным чис лу
z x iy= + .
Сум мой ком плекс ных чи сел z
1
и z
2
на зы ва ет ся чис ло
z z x x y y i
1
2
1
2
1
2
+ = + + +( ) ( )
.
Раз но стью ком плекс ных чи сел z
1
и z
2
на зы ва ет ся чис ло
z z x x y y i
1
2
1
2
1
2
- = - + -( ) ( )
.
Ум но же ние ком плекс ных чи сел:
z z x x y y x y x y i
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
× = - + +( ) ( )
То есть
i i i i
2
0 1 0 1 1 0 1= + + = - + = -( )( ) .
Де ле ни ем ком плекс ных чи сел z
1
и z
2
на зы ва ет ся чис ло
z x y i
3 3 3
= +
, та кое, что
z z z
3 2
1
=
;
x iy x y i x iy
1 1
3 3 2 2
+ = + +( )( )
т.е.
x x x y y
1
2 3 2 3
= -
;
y x y x y
1
2 3 3 2
= +
.
От сю да на хо дим x
3
и y
3
:
x
x x y y
x y
3
1
2
1
2
2
2
2
2
=
+
+
;
y
x y x y
x y
3
2
1 1
2
2
2
2
2
=
-
+
Та ким об ра зом:
x y i
x y i
x x y y
x y
i
x y x y
x y
1 1
2 2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1 1
2
2
2
2
2
-
-
=
+
+
+
-
+
.
Воз ве дём в сте пень:
z z z z z
n
= × × ×...
При этом:
i i i i i i i
2 3 2 4 2 2
1 1= - = × = × =; ;
и т.д.
Ес ли мы ум но жа ем, де лим, скла ды ва ем ком плекс ные чис ла и по -
лу ча ем
A Bi+ ,
то то же де лая с со пря жен ны ми чис ла ми, по лу чим
A Bi- .
2) Три го но мет ри че ская фор ма ком плекс но го чис ла.
Вы бе рем по ляр ную сис те му ко ор ди нат:
x y= =r j r jcos ; sin
37
       2.6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
       КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

       2.6.1 Комплексные числа

       1) Комплексными числом называется выражение z = x + iy где x и
y — действительные числа, а i — мнимая единица, i = -1.
       Комплексные числа z1 = x 1 + y 1 i, z2 = x 2 + y 2 i называются равны-
ми, если x 1 = x 2 ; y 1 = y 2 .
       Число z * = x - iy называется комплексно-сопряженным числу
z = x + iy .
       Суммой комплексных чисел z1 и z2 на зы ва ет ся чис ло
z1 + z2 = ( x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i.
       Разностью комплексных чисел z1 и z2 на зы ва ет ся чис ло
z1 - z2 = ( x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )i.
       Умножение комплексных чисел:

                       z1 × z2 = ( x 1 x 2 - y 1 y 2 ) + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )i

       То есть i 2 = (0 +1i)(0 +1i) = -1 + 0i = -1.
       Де ле ни ем комплексных чи сел z1 и z2 на зы ва ет ся чис ло
z3 = x 3 + y 3 i, та кое, что z3 z2 = z1 ; x 1 + iy 1 = ( x 3 + y 3 i)( x 2 + iy 2 ) т.е.
x1 = x 2 x 3 - y 2 y 3 ; y1 = x 2 y 3 + x 3 y 2 .
       Отсюда находим x3 и y3:
                               x1 x 2 + y1 y 2               x 2 y1 - x1 y 2
                       x3 =          2        2
                                                  ; y3 =
                                  x +y
                                     2        2                 x 22 + y 22

                             x1 - y1 i        x1 x 2 + y1 y 2        x 2 y1 - x1 y 2
       Таким образом:                     =       2      2
                                                                +i          .
                             x 2 - y 2i    x +y   2      2      x 22 + y 22
     Возведём в степень: z n = z × z × z×... z
     При этом: i 2 = -1; i 3 = i 2 × i; i 4 = i 2 × i 2 = 1 и т.д.
     Если мы умножаем, делим, складываем комплексные числа и по-
лучаем A + Bi, то тоже делая с сопряженными числами, получим A - Bi.

       2) Тригонометрическая форма комплексного числа.
       Выберем полярную систему координат: x = rcos j; y = r sin j

                                                                                       37

Страницы