Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) Де ле ние рас смат ри ва ем как дей ст вие об рат ное ум но же нию:
[ ]
z
z
i
1
2
1
2
1
2
1
2
= - + -
r
r
j j j jcos( ) sin( )
.
То есть мо ду ли чи сел де лят ся:
| |
| |
z
z
z
z
1
2
1
2
1
2
½
½
½
½
½
½
= =
r
r
,
а ар гу мен ты вы чи та ют ся:
Arg Arg Arg
z
z
z z
1
2
1
2
= -
.
Гео мет ри че ский смысл де ле ния — это по во рот по ча со вой стрел ке
и умень ше ние дли ны век то ра в
r
2
раз.
в) Воз ве де ние в сте пень
z z z z
i
n
n
= × =
= × × + + + + + + +
K
K L
1 244 344
Lr r r r j j j j j jcos( ) sin(
n
1 244 344
)
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
То есть
( )
z n i n
n n
= +r j jcos( ) sin( )
или
[ ] ( )
r( j j) r j jcos sin cos( ) sin( )+ = +i n i n
n
n
.
Ес ли
r =1
, то
(cos sin ) cos( ) sin( )j j j j+ = +i n i n
n
— фор му ла Му ав ра.
При мер:
(cos sin ) cos( ) sin( )j j j j+ = +i i
3
3 3
cos cos sin cos sin sin cos sin
3 2 2 3
3 3 3 3j j j j j j j j+ - - = +i i i
.
Вы пи шем от дель но дей ст ви тель ные и мни мые час ти:
cos cos cos sin
sin cos sin sin
3 3
3 3
3 2
2 3
j j j j
j j j j
= -
= -
г) Из вле че ние кор ня из ком плекс но го чис ла
Кор нем n-ой сте пе ни из ком плекс но го чис ла
w r i= +(cos sin )q q
на зы ва ет ся ком плекс ное чис ло
z i= +r j j(cos sin )
, для ко то ро го
z w
n
=
,
то есть
z w
n
=
.
39
      б) Деление рассматриваем как действие обратное умножению:
                      z1       r1
                      z2
                           =
                               r2
                                    [cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )].
      То есть модули чисел делятся:
                                      ½ z
                                      ½ 1½
                                            r   |z |
                                          ½= 1 = 1 ,
                                      ½z2½ r 2 | z2 |
а аргументы вычитаются:
                                        z1
                                  Arg        = Argz1 - Argz2 .
                                        z2
     Геометрический смысл деления — это поворот по часовой стрелке
и уменьшение длины вектора в r 2 раз.

      в) Возведение в степень
             z n = z × zK z =
                              é                                       ù
                 = r × r × rKrêcos(j + j +L + j) + i sin(j + j +L + j)ú
                              êë   14 4244  3            14 4244  3ú
                                         n                     n      û
      То есть z n = r n ( cos(nj) + i sin(nj)) или
                                             n
                 [r(cos j + i sin j)]            = r n ( cos(jn) + i sin(nj)).

      Если r =1, то (cos j + i sin j) n = cos(nj) + i sin(nj) — формула Муавра.
      Пример: (cos j + i sin j) 3 = cos(3j) + i sin(3j)
       cos 3 j + 3i cos 2 j sin j - 3cos j sin 2 j - i sin 3 j = cos 3j + i sin 3j.
      Выпишем отдельно действительные и мнимые части:
                               cos 3j = cos 3 j - 3cos j sin 2 j
                               sin 3j = 3cos 2 j sin j - sin 3 j

      г) Извлечение корня из комплексного числа
      Корнем n-ой степени из комплексного числа w = r (cos q + i sin q)
называется комплексное число z = r(cos j + i sin j), для которого z n = w,
то есть z = n w .
                                                                                      39

Страницы