Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В об щем слу чае ком плекс но го чис ла:
cos z
e e
z z
=
+
-
2
;
sin z
e e
z z
=
-
-
2
Лег ко по ка зать, что:
sin cos
2 2
1z z+ =
;
sin ( ) sin cos cos sinz z z z z z
1
2
1
2
1
2
+ = +
;
cos( ) cos cos sin sinz z z z z z
1
2
1
2
1
2
+ = +
;
tgz
z
z i
e e
e e
i
e
e
z z
z z
z
z
= = ×
-
+
= ×
-
+
-
-
sin
cos
1 1 1
1
2
2
;
ctgz
z
z
i
e e
e e
i
e
e
z z
z z
z
z
= = ×
+
-
= ×
+
-
-
-
cos
sin
1 1
1
2
2
.
е) Ги пер бо ли че ские функ ции
sh
ch
th
sh
ch
z
iz
i
e e
z iz
e e
z
z
z
e e
z z
z z
z
= =
-
= =
+
= =
-
-
-
sin
cos
2
2
-
-
-
-
+
=
-
+
= =
+
-
=
+
z
z z
z
z
z z
z z
z
e e
e
e
z
z
z
e e
e e
e
e
2
2
2
1
1
1
cth
ch
sh
2
1
z
-
Лег ко по ка зать, что:
ch
2 2
1z z- =sh
;
sh sh ch ch sh( )z z z z z z
1
2
1
2
1
2
± = ±
;
ch ch ch sh sh( )z z z z z z
1
2
1
2
1
2
± = ±
;
sh sh ch2 2z z z=
;
ch ch sh2
2 2
z z z= +
;
th
th
th
2
2
1
2
z
z
z
=
+
;
cth
cth
cth
2
1
2
2
z
z
z
=
+
.
При ве ще ст вен ных по ка за те лях:
shx
e e
x x
=
-
-
2
;
chx
e e
x x
=
+
-
2
;
thx
e
e
x
x
=
-
+
2
2
1
1
;
cthx
e
e
x
x
=
+
-
2
2
1
1
.
41
В общем случае комплексного числа:
                              e z + e-z           e z - e-z
                   cos z =              ; sin z =
                                  2                   2
Легко показать, что: sin 2 z + cos 2 z = 1;
sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ;
cos( z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 ;
       sin z 1 e z - e - z 1 e 2 z -1
tgz =         = ×              = ×        ;
       cos z i e z + e - z i e 2 z +1
        cos z       e z + e - z 1 e 2 z +1
ctgz =         =i× z           = ×         .
        sin z       e - e - z i e 2 z -1

е) Гиперболические функции
                           sin iz e z - e - z
                     shz =        =
                             i         2
                                    e + e-z
                                     z
                     chz = cos iz =
                                       2
                           shz e z - e - z e 2 z -1
                     thz =      =           =
                           chz e z + e - z e 2 z +1
                              chz e z + e - z e 2 z +1
                     cthz =      =           =
                              shz e z - e - z e 2 z -1

Легко показать, что: ch 2 z - sh 2 z = 1;
sh( z1 ± z2 ) = shz1 chz2 ± chz1 shz2 ;
ch( z1 ± z2 ) = chz1 chz2 ± shz1 shz2 ;
sh2 z = 2 shz chz;
ch2 z = ch 2 z + sh 2 z;
           2 thz
th2 z =             ;
         1 + th 2 z
          1 + cth 2 z
cth2 z =              .
            2cthz
При вещественных показателях:
          e x - e -x         e x + e -x        e 2 x -1     e 2 x +1
  shx =              ; chx =            ; thx = 2 x ; cthx = 2 x .
              2                  2             e +1         e -1
                                                                       41

Страницы