Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

грал не за ви сит от вы бо ра пу ти, то есть ин те грал, взя тый по замк ну то му
кон ту ру, ра вен ну лю (тео ре ма Ко ши):
f z dz
L
( )
ò
= 0
.
2) Рас смот рим слу чай, ко гда по дын те граль ная функ ция име ет
осо бен но сти (об ра ща ет ся в бес ко неч ность).
Пусть
I
dz
z
=
ò
;
f z
z
( ) =
1
; то есть при
z = 0
;
f z( ) = ¥
.
Бу дем на зы вать та кую осо бен ность по лю сом.
Вы чис лим ин те грал по кон ту ру (L) с
цен тром в т. O в по ло жи тель ном на прав ле -
нии (рис. 2.6.2):
z re
i
=
j
;
0 2< <j p
;
dz re id
i
=
j
j
dz
z
re id
re
i
i
i
ò ò
= =
j
j
j
p2
,
то есть ин те грал по замк ну то му кон ту ру ока -
зы ва ет ся не рав ным ну лю.
Из ме ним кон тур ин тег ри ро ва ния, то
есть возь мем та кой кон тур, ко то рый не со -
дер жит осо бую точ ку (рис. 2.6.3):
I
dz
z
0
=
ò
Этот путь со сто ит из пу ти ABA, двух
близ ких пря мых AC и CA и ок руж но сти OC.
Оче вид но, что
I
0
0=
, так как это ин те грал по
замк ну то му кон ту ру без осо бен но стей.
Ин те гра лы по AC и CA вза им но унич то -
жа ют ся. Та ким об ра зом,
I I i
ABA
0
0 2= = - p
—
знак «–» бе рет ся, так как об ход про ис хо дит в
об рат ном на прав ле нии. То есть
I i
ABA
= 2p
.
Та ким об ра зом, ин те грал мож но брать по ок руж но сти лю бо го ра -
диу са.
3) По люс мо жет быть лю бо го по ряд ка: вто ро го:
1
2
z
; третье го:
1
3
z
...
43
Рис. 2.6.2
Рис. 2.6.3
грал не зависит от выбора пути, то есть интеграл, взятый по замкнутому
контуру, равен нулю (теорема Коши): ò f ( z)dz = 0.
                                      L

     2) Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция имеет
особенности (обращается в бесконечность).
                dz         1
     Пусть I = ò ; f ( z) = ; то есть при z = 0; f ( z) = ¥.
                 z         z
     Будем называть такую особенность полюсом.
                                  Вычислим интеграл по контуру (L) с
                           центром в т. O в положительном направле-
                           нии (рис. 2.6.2):
                                  z = re ij ; 0 < j < 2 p; dz = re ij idj
                                           dz   re ij idj
                                          ò z ò re ij = 2 pi,
                                              =

                         то есть интеграл по замкнутому контуру ока-
                         зывается не равным нулю.
       Рис. 2.6.2               Изменим контур интегрирования, то
                         есть возьмем такой контур, который не со-
держит особую точку (рис. 2.6.3):

                                                        dz
                                               I0 = ò
                                                         z

                                Этот путь состоит из пути ABA, двух
                          близких прямых AC и CA и окружности OC.
                          Очевидно, что I 0 = 0, так как это интеграл по
                          замкнутому контуру без особенностей.
                                Интегралы по AC и CA взаимно уничто-
                          жаются. Таким образом, I 0 = 0 = I ABA - 2 pi —
        Рис. 2.6.3        знак «–» берется, так как обход происходит в
                          обратном направлении. То есть I ABA = 2pi.
      Таким образом, интеграл можно брать по окружности любого ра-
диуса.

                                                             1               1
     3) Полюс может быть любого порядка: второго:              2
                                                                 ; третьего: 3 ...
                                                             z              z
                                                                                43

Страницы