Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ес ли функ ция f(z) име ет в не ко то рой точ ке
z a=
по люс по ряд ка n,
то во круг этой точ ки она раз ла га ет ся в ряд Ло ра на:
f z C z a C C z a C z a
n
n
n
( ) ( ) ( ) ( )= - + + + - + - +
-
-
- + -
-
1 1
1
0
K K
Ин те грал, взя тый от это го ря да, не ра вен ну лю, толь ко для сла гае -
мо го
C z a
-
-
-
1
1
( )
; ин те гра лы от ос таль ных сла гае мых рав ны ну лю.
Та ким об ра зом:
f z dz
C
z a
dz iC( )
ò ò
=
-
=
-
-
1
1
2p
.
Ко эф фи ци ент
C
-1
на зы ва ют вы че том функ ции f(z) в точ ке a. Вы -
чет обо зна ча ет ся Res(a).
Та ким об ра зом:
f z dz i a( ) ( )
ò
= 2p Res
.
4) Пусть функ ция f(z) яв ля ет ся ана ли ти че ской всю ду на кон ту ре
(L) и внут ри, за ис клю че ни ем не сколь ких то -
чек, на при мер, a
1
, a
2
, a
3
(2.6.4). Ра зо бьем об -
ласть на три вспо мо га тель ные, так, что бы в
ка ж дой бы ла од на осо бая точ ка. То гда:
f z dz f z dz f z dz f z dz
L L L L
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ò ò ò ò
= + +
1
2 3
.
Так как внут рен ние ин те гра лы вза им -
но унич то жа ют ся, зна чит:
2 2 2 2
1
2 3
1
p p p pi a i a i a i a
L
Res Res Res Res R( ) ( ) ( ) [ ( )
( )
ò
+ + = + es Res( ) ( )]a a
2 3
+
.
5) Вы чис ле ние вы че тов
Пусть есть по люс пер во го по ряд ка. Та кой по люс обыч но по лу ча -
ет ся, ес ли по дын те граль ная функ ция f(z) пред ста ви ма в ви де:
f z
g z
h z
( )
( )
( )
=
,
при чем g(z) не име ет осо бен но стей, а h(z) име ет осо бен ность в точ ке
z a=
.
44
      Если функция f(z) имеет в некоторой точке z = a полюс порядка n,
то вокруг этой точки она разлагается в ряд Лорана:
               f ( z) = C - n ( z - a) - n + C - n + 1 +K + C -1 ( z - a) -1 + C 0 ( z - a)+K
      Интеграл, взятый от этого ряда, не равен нулю, только для слагае-
мого C -1 ( z - a) -1 ; интегралы от остальных слагаемых равны нулю.
      Таким образом:
                                                   C -1
                                  ò f ( z)dz = ò z - a dz = 2piC           -1
                                                                                .

      Коэффициент C -1 называют вычетом функции f(z) в точке a. Вы-
чет обозначается Res(a).
      Таким образом:

                                        ò f ( z)dz = 2piRes(a).
           4) Пусть функция f(z) является аналитической всюду на контуре
                              (L) и внутри, за исключением нескольких то-
                              чек, например, a1, a2, a3 (2.6.4). Разобьем об-
                              ласть на три вспомогательные, так, чтобы в
                              каждой была одна особая точка. Тогда:

                                              ò f ( z)dz = ò f ( z)dz + ò f ( z)dz + ò f ( z)dz.
                                             (L)                  ( L1 )            ( L2 )       ( L3 )


                                             Так как внутренние интегралы взаим-
                                        но уничтожаются, значит:


     ò 2 piRes(a ) + 2 piRes(a ) + 2 piRes(a ) = 2 pi[Res(a ) + Res(a ) + Res(a )].
     (L)
                  1                 2                    3                      1            2            3




       5) Вычисление вычетов
       Пусть есть полюс первого порядка. Такой полюс обычно получа-
ется, если подынтегральная функция f(z) представима в виде:
                                                             g( z)
                                              f ( z) =             ,
                                                             h( z)

причем g(z) не имеет особенностей, а h(z) имеет особенность в точке
z = a.
44

Страницы