Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

b
l
f t ntdt
n
l
l
=
-
ò
1
( )sin
.
Пе рей дя к пре де лу
l ® ¥
, по лу чим:
f x a n nx b n nx dx( ) [ ( )cos ( )sin ]= +
¥
ò
0
,
где
a n f t ntdt( ) ( )co s=
-¥
¥
ò
1
p
,
b n
n
f t ntdt( ) ( )sin=
-¥
¥
ò
1
.
Под став ляя a( n ) и b(n) в ряд Фу рье по лу чим вы ра же ние:
f x dn f t n x t dt( ) ( )cos ( )= -
-¥
¥
-¥
¥
ò ò
1
2p
,
ко то рое на зы ва ет ся двой ным ин те гра лом Фу рье. Так как sinx яв ля ет ся
не чет ной функ ци ей, то
1
2
0
p
dn f t n x t dt( )sin ( )- =
-¥
¥
-¥
¥
òò
,
по это му:
f x dn f t n x t i n x t dt( ) ( )cos ( ) sin ( )= - + -
-¥
¥
-¥
¥
òò
1
2 p
.
Ис поль зуя фор му лу Эй ле ра, по лу чим:
f x dn e f t dt e d n e f
in x t
inx
( ) ( )
( )
= =
+ -
-¥
¥
-¥
¥
+ -
òò
1
2
1
2p p
int
( )t dt
-¥
¥
-¥
¥
òò
.
2) В опе ра ци он ном ис чис ле нии рас смат ри ва ет ся класс функ ций,
ко то рые удов ле тво ря ют сле дую щим ус ло ви ям:
а) при
x < 0
,
f x( ) = 0
, то есть
f x x( ) ( )×q
,
б) при
x >0
рост функ ции не дол жен пре вос хо дить по ряд ка рос та
по ка за тель ной функ ции:
| |
f x Me
x
( ) £
.
По это му вве дем вспо мо га тель ную функ цию
j( ) ( )x e f x
x
=
-
.
46
                                                           l
                                                         1
                                             bn =              f (t )sin ntdt .
                                                         l -òl

      Перейдя к пределу l ® ¥, получим:
                                             ¥
                            f ( x ) = ò[a(n)cos nx + b(n)sin nx ]dx ,
                                             0


где
                                 ¥                                             ¥
                              1                           1
                 a(n) =         ò  f (t )cos ntdt , b(n) = ò f (t )sin ntdt .
                              p -¥                        n -¥

      Подставляя a(n) и b(n) в ряд Фурье получим выражение:
                                                     ¥         ¥
                                              1
                              f ( x) =          ò dn -¥ò f (t )cos n( x - t )dt ,
                                             2p -¥

которое называется двойным интегралом Фурье. Так как sinx является
нечетной функцией, то
                                         ¥           ¥
                                 1
                                    ò dn -¥ò f (t )sin n( x - t )dt = 0,
                                2 p -¥

поэтому:
                                     ¥           ¥
                               1
                 f ( x) =        ò dn -¥ò f (t )cos n( x - t ) + i sin n( x - t )dt .
                              2p -¥

      Используя формулу Эйлера, получим:
                          ¥          ¥                                     ¥       ¥
                       1                                     1
           f ( x) =       ò dn ò e + in ( x - t ) f (t )dt = ò e + inx dn ò e - int f (t )dt .
                      2 p -¥ -¥                             2 p -¥       -¥



     2) В операционном исчислении рассматривается класс функций,
которые удовлетворяют следующим условиям:
     а) при x < 0, f ( x ) = 0, то есть f ( x ) ×q( x ),
     б) при x > 0 рост функции не должен превосходить порядка роста
показательной функции: | f ( x )| £ Me x .
      Поэтому введем вспомогательную функцию j( x ) = e - x f ( x ).

46

Страницы