Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Раз ло жим чис ли тель и зна ме на тель в ряд Тей ло ра:
f z
g a g a z a
g a
z a
h a z a
h a
( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
=
+
¢
- +
¢¢
- +
¢
- +
¢¢
2
2
2
K
( )z a- +
2
K
.
Вбли зи точ ки
z a=
пра вую часть мож но за ме нить на
g a
h a z a
( )
( )( )
¢
-
.
По это му, вы чет, рав ный ко эф фи ци ен ту при
( )z a-
-1
, ра вен:
Res( )
( )
( )
a
g a
h a
=
¢
.
Пример1: Вы чис лим ин те грал
I
z
z z
dz
L
=
+
-
ò
1
1( )sin
.
L — ок руж ность ра диу са r с цен тром в
z = 0
. Осо бен но сти при
z =1
и
z k= p
.
Внутрь кон ту ра (L) по па да ют толь ко две осо бен но сти:
z = 0
и
z =1
.
I i= +2 0 1p [ ( ) ( )]Res Res
g z z( ) = +1
;
h z z z( ) ( )sin= -1
;
¢
= + -h z z z z( ) sin ( )cos1
.
Res( )
( )
( )
0
0
0
1
1
1=
¢
=
-
= -
g
h
;
Res( )
( )
( ) sin
1
1
1
2
1
=
¢
=
g
h
;
I i i= - +
é
ë
ê
ù
û
ú
=2 1
2
1
8 65p
sin
,
.
2.6.3 Опе ра ци он ное ис чис ле ние
1) Лю бую функ цию мож но раз ло жить в ряд Фу рье:
f x
a
a nx b nx
n n
n
( ) ( cos sin )= + +
=
¥
å
0
1
2
;
a
l
f t ntdt
n
l
l
=
-
ò
1
( )cos
;
45
      Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора:
                                                     g ¢¢a
                             g(a) + g ¢(a)( z - a) +       ( z - a) 2 +K
                  f ( z) =                            2                  .
                                                h¢¢ a          2
                                h¢(a)( z - a) +       ( z - a) +K
                                                 2
                                                               g(a)
      Вблизи точки z = a правую часть можно заменить на                 .
                                                           h¢(a)( z - a)
      Поэтому, вычет, равный коэффициенту при ( z - a) -1 , равен:
                                                  g(a)
                                    Res(a) =            .
                                                  h¢(a)
                                              z +1
      Пример1: Вычислим интеграл I = ò                 dz.
                                       L
                                         ( z - 1)sin z
       L — окружность радиуса r с центром в z = 0. Особенности при z =1
и z = kp.
       Внутрь контура (L) попадают только две особенности: z = 0 и z =1 .
                                I = 2 pi[Res(0) + Res(1)]
                          g( z) = z +1; h( z) = ( z -1)sin z;
                              h¢( z) = sin z + ( z -1)cos z.
                             g(0) 1                  g(1)   2
               Res(0) =           =   = -1; Res(1) =      =    ;
                             h¢(0) -1                h¢(1) sin1

                                       é      2 ù
                              I = 2 pi ê-1 +        = 8,65i.
                                       ë     sin1úû

      2.6.3 Операционное исчисление

      1) Любую функцию можно разложить в ряд Фурье:
                                a0 ¥
                     f ( x) =     + å(an cos nx + bn sin nx );
                                2 n =1
                                          l
                                        1
                                 an =         f (t )cos ntdt ;
                                        l -òl

                                                                             45

Страницы