Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Та ким об ра зом, бу дем рас смат ри вать ин те грал Фу рье в ви де:
f x e dn e dt f t dt
in x in t
( ) ( )
( ) ( )
=
+
-¥
¥
- +
¥
ò ò
1
2
0
p
.
По ло жим
d + =in s
, то гда пре де лы из ме не ния n бу дут рав ны: от
( )d - ¥i
до
( )d + ¥i
; ds=idn
Окон ча тель но:
f x
i
e ds e dt f t dt
sx
i
i
st
( ) ( )=
- ¥
+ ¥
-
¥
ò ò
1
2
0
p
d
d
.
Те перь ин те грал по ком плекс но му ар гу мен ту s бе рет ся вдоль пря -
мой
s in= +d
Вы де лим в ин те гра ле Фу рье два ин те -
гра ла:
f s e f t dt
st
( ) ( )=
-
¥
ò
0
; (1)
f x
i
e f s ds
sx
i
i
( ) ( )=
- ¥
+ ¥
ò
1
2p
d
d
. (2)
Фор му ла (1) осу ще ст в ля ет так на зы -
вае мое ин те граль ное пре об ра зо ва ние Ла п ла са функ ции f(x); со пос тав ляя
ори ги на лу функ цию f(s), на зы вае мую изо бра же ни ем дан но го ори ги на ла.
В опе ра ци он ном ис чис ле нии для пре об ра зо ва ния Ла п ла са ис -
поль зу ет ся сим вол:
f s f x( ) ( )Ì
.
Фор му ла (2) по зво ля ет вос ста но вить ори ги нал по из вест но му изо -
бра же нию и на зы ва ет ся фор му лой об ра ще ния или ин те гра лом Ри ма на-
Мел ли на.
Фор му лы (1) и (2) ус та нав ли ва ет пря мую и об рат ную связь ме ж ду
дву мя функ ция ми: функ ци ей ве ще ст вен но го пе ре мен но го f(x) (ори ги -
нал) и функ ци ей ком плекс но го пе ре мен но го
f s( )
(изо бра же ние).
3) Свой ст ва пре об ра зо ва ния Ла п ла са
а) ес ли
c = const
, то
cf x c f s( ) ( )Ì
, при умень ше нии на по сто ян ный
мно жи тель ори ги на ла, изо бра же ние так же ум но жа ет ся на этот мно жи -
тель.
47
      Таким образом, будем рассматривать интеграл Фурье в виде:
                                   ¥              ¥
                                1     ( + in ) x - ( + in ) t
                    f ( x) =       ò e dn ò0 e                dt f (t )dt .
                               2 p -¥
       Положим d + in = s, тогда пределы изменения n будут равны: от
(d - i¥) до (d + i¥); ds=idn
                                    d+ i ¥       ¥
                                1
       Окончательно: f ( x ) =       ò   e sx ds ò e - st dt f (t )dt .
                               2 pi d- i¥        0

       Теперь интеграл по комплексному аргументу s берется вдоль пря-
                              мой s = d + in
                                      Выделим в интеграле Фурье два инте-
                              грала:
                                                      ¥
                                           f ( s) = ò e - st f (t )dt ;        (1)
                                                      0

                                                           d+ i ¥
                                                       1
                                           f ( x) =           e sx f ( s)ds.   (2)
                                                      2pi d-òi¥

                               Формула (1) осуществляет так назы-
ваемое интегральное преобразование Лапласа функции f(x); сопоставляя
оригиналу функцию f(s), называемую изображением данного оригинала.
      В операционном исчислении для преобразования Лапласа ис-
пользуется символ:

                                       f ( s) Ì f ( x ).

      Формула (2) позволяет восстановить оригинал по известному изо-
бражению и называется формулой обращения или интегралом Римана-
Меллина.
      Формулы (1) и (2) устанавливает прямую и обратную связь между
двумя функциями: функцией вещественного переменного f(x) (ориги-
нал) и функцией комплексного переменного f ( s) (изображение).

      3) Свойства преобразования Лапласа
      а) если c = const, то cf ( x ) Ì c f ( s), при уменьшении на постоянный
множитель оригинала, изображение также умножается на этот множи-
тель.
                                                                               47

Страницы