Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пе ре вод ве ще ст вен ной функ ции в ком плекс ное про стран ст во по -
зво ля ет уп ро стить ряд опе ра ций, ко то рые в дей ст ви тель ном про стран -
ст ве на тал ки ва ют ся на серь ез ные труд но сти. Для боль шо го ко ли че ст ва
функ ций та кой пе ре ход мо жет быть осу ще ст в лен с по мо щью спе ци аль -
ных спра воч ни ков по опе ра ци он но му ис чис ле нию. При ме ром при ме -
не ния опе ра ци он но го ис чис ле ния мо жет слу жить ре ше ние диф фе рен -
ци аль ных урав не ний.
6) Ре ше ние ли ней ных диф фе рен ци аль ных урав не ний
Рас смот рим урав не ние:
A f x A f x A f x A f x g x
n n
n
n0
1
1
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + ¢ + =
-
-
K
При ме ним пре об ра зо ва ние Ла п ла са к функ ци ям f(x) и g(x):
F s f x( ) ( )=
;
F( ) ( )s g x=
.
При ме ним фор му лу диф фе рен ци ро ва ния ори ги на ла:
f x s F s s f s f f
n
n n n
n( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))= - + ¢ + +
- -
-
1 2
1
0 0 0K
.
То гда ис ход ное диф фе рен ци аль ное урав не ние пре об ра зу ет ся
в ал геб раи че ское урав не ние:
F s D s s s( ) ( ) ( ) ( )× = +F Y
,
где
D s A s A s A
n n
n
( ) = + + +
-
0
1
1
K
,
Y( ) ( )[ ]
( )[
s f A s A s A
f A s A s
n n
n
n n
= + + + +
+ ¢ +
- -
-
-
0
0
0
1
1
2
1
0
2
1
K
-
-
+ + + +
3
1
0
0K KA f A
n
n
] ( )
( )
.
Та ким об ра зом:
F s
s s
D s
( )
( ) ( )
( )
=
+F Y
.
Что бы най ти са мо ре ше ние f(x), ос та ёт ся пе рей ти от изо бра же ния
к ори ги на лу по из вест ным фор му лам или по таб лич ным дан ным.
При мер 1: Урав не ние
d y
dt
dy
dt
y
2
2
5 6 12+ + =
с на чаль ны ми зна че ния -
ми
y( )0 2=
;
¢
=y ( )0 0
.
49
      Перевод вещественной функции в комплексное пространство по-
зволяет упростить ряд операций, которые в действительном простран-
стве наталкиваются на серьезные трудности. Для большого количества
функций такой переход может быть осуществлен с помощью специаль-
ных справочников по операционному исчислению. Примером приме-
нения операционного исчисления может служить решение дифферен-
циальных уравнений.

       6) Решение линейных дифференциальных уравнений
       Рассмотрим уравнение:
              A0 f ( n ) ( x ) + A1 f ( n -1 ) ( x )+K+ An -1 f ¢ ( x ) + An f ( x ) = g( x )

       Применим преобразование Лапласа к функциям f(x) и g(x):
                                   F ( s) = f ( x ); F( s) = g( x ).

       Применим формулу дифференцирования оригинала:
              f ( n ) ( x ) = s n F ( s) - ( s n -1 f (0) + s n - 2 f ¢ (0)+K+ f ( n -1 ) (0)).

      Тогда исходное дифференциальное уравнение преобразуется
в алгебраическое уравнение:
                                   F ( s) × D( s) = F( s) + Y( s),

где
                               D( s) = A0 s n + A1 s n -1 +K+ An ,

              Y( s) = f (0)[ A0 s n -1 + A1 s n - 2 +K+ An -1 ] +
                                                                                             .
                     + f ¢ (0)[ A0 s n - 2 + A1 s n - 3 +K+ An ]+K+ f ( n -1 ) (0) A0

                          F( s) + Y( s)
       Таким образом: F ( s) =         .
                              D( s )
      Чтобы найти само решение f(x), остаётся перейти от изображения
к оригиналу по известным формулам или по табличным данным.

                                         d2y     dy
       Пример 1: Уравнение                  2
                                              + 5 + 6y = 12 с начальными значения-
                                         dt      dt
ми y(0) = 2; y ¢(0) = 0.

                                                                                                  49

Страницы