Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

б) сум ме ори ги на лов со от вет ст ву ет сум ма их изо бра же ний:
f x f x f s f s
1
2
1
2
( ) ( ) ( ) ( )+ Ì +
.
в) Лю бой ли ней ной ком би на ции ори ги на лов со от вет ст ву ет та кая
же ли ней ная ком би на ция их изо бра же ний:
c f x c f s
i i
i
i i
i
( ) ( )Ì
å å
.
4) Диф фе рен ци ро ва ние ори ги на ла
Пусть f(x) — ори ги нал, и
¢
f x( )
— то же ори ги нал.
Пусть
f x f s( ) ( )Ì
и
¢
Ìf x f x( ) ( )
1
— изо бра же ние.
Най дем связь ме ж ду
f s( )
и
f s
1
( )
:
По оп ре де ле нию:
{
f s e f x dx
sx
u
d
1
0
( ) ( )=
¢
=
-
¥
ò
n
124 34
вы пол ним ин тег ри ро ва ние:
u e d f x dx
du se dx f x
sx
sx
= =
¢
= - =
-
-
; ( )
; ( )
n
n
|
= + = - + = -
-
¥
-
¥
-
¥
ò ò
f x e s e f x dx f s e f x dx f
sx sx sx
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0
0 ( ) ( )0 + ×s f s
.
Та ким об ра зом:
f s f x s f s f
1
0( ) '( ) ( ) ( )Ì = × -
.
Для n-ой про из вод ной:
f x s f s s f s f f
n
n n n
n( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ì - +
¢
+ +
- -
-
1 2
1
0 0 0K
.
5) Ин тег ри ро ва ние ори ги на ла
Пусть f(x) — ори ги нал, и
j t t( ) ( )x f d
x
=
ò
0
— то же ори ги нал.
Най дем изо бра же ние функ ции
j( )x
.
Оче вид но, что
f x x( ) ( )=
¢
j
, по это му, по ла гая
j j( ) ( )x sÌ
, на хо дим:
f s s s( ) ( )Ì j
—
j j( ) ( )0 = ×s s
— так как
j( )0 0=
. От сю да
j( ) ( )s
s
f s=
1
.
Та ким об ра зом:
f d
s
f s
x
( ) ( )t t
0
1
ò
Ì
.
48
       б) сумме оригиналов соответствует сумма их изображений:
                                         f1 ( x ) + f 2 ( x ) Ì f1 ( s) + f 2 ( s).

     в) Любой линейной комбинации оригиналов соответствует такая
же линейная комбинация их изображений:

                                            åci
                                                  i   f i ( x ) Ì åc i f i ( s).
                                                                  i


       4) Дифференцирование оригинала
       Пусть f(x) — оригинал, и f ¢( x ) — тоже оригинал.
       Пусть f ( x ) Ì f ( s) и f ¢( x ) Ì f1 ( x ) — изображение.
       Найдем связь между f ( s) и f1 ( s):
       По определению:
                                                         ¥
                                                          - sx
                                             f1 ( s) = ò e{    f ¢( x )dx =
                                                          u
                                                               12
                                                                4 4    3
                                                         0            dn


                                                                       u = e - sx ; dn = f ¢( x )dx
               выполним интегрирование:
                                                                      du = - se - sx dx ; n = f ( x )
                                   ¥                                   ¥
                           ¥
     = f ( x )e - sx   |   0
                               + s ò e - sx f ( x )dx = - f (0) + s ò e - sx f ( x )dx = - f (0) + s × f ( s).
                                   0                                   0


       Таким образом: f1 ( s) Ì f '( x ) = s × f ( s) - f (0).
       Для n-ой производной:
                 f ( n ) ( x ) Ì s n f ( s) - s n -1 f (0) + s n - 2 f ¢(0)+K+ f ( n -1 ) (0).

       5) Интегрирование оригинала
                                                                 x
       Пусть f(x) — оригинал, и j( x ) = ò f (t)dt — тоже оригинал.
                                                                 0

        Найдем изображение функции j( x ).
        Очевидно, что f ( x ) = j¢( x ), поэтому, полагая j( x ) Ì j( s), находим:
                                                                      1
f ( s) Ì s j( s) — j(0) = s × j( s) — так как j(0) = 0. Отсюда j( s) = f ( s).
                                                                      s
                              x
                                          1
        Таким образом: ò f (t)dt Ì f ( s).
                              0
                                          s

48

Страницы