ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пусть пе ре да точ ная функ ция
P x( )
име ет ори ги нал P(x):
P s P x( ) ( )=
.
То гда по тео ре ме свёр ты ва ния ори ги на лов:
f f x d f s f s
x
1
2
1
2
0
( ) ( ) ( ) ( )t t t- = ×
ò
по лу ча ем:
f x P g x d
x
( ) ( ) ( )= -
ò
t t t
0
Дан ный ин те грал на зы ва ет ся ин те гра лом Дюа ме ля. Его мож но
пред ста вить в дру гой фор ме:
Най дём ре ше ние диф фе рен ци аль но го урав не ния (1), ко гда в пра -
вой час ти сто ит q-функ ция, т.е. «еди нич ный» вход ной сиг нал:
g x x( ) ( )=q
.
f x P x d P d
x x
1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )= - =
ò ò
t q t t t t
.
Про диф фе рен ци ру ем это ра вен ст во по лу чим:
P x f x( ) ( )=
¢
1
.
Та ким об ра зом, ори ги нал пе ре да точ ной функ ции ра вен про из -
вод ной от f
1
(x) , от ве чаю щей еди но му вход но му сиг налу.
Та ким об ра зом:
f x f g x d
x
( ) ( ) ( )=
¢
- =
ò
1
0
t t t
[про ве дём ин тег ри ро ва ние
по час тям]
|
= - +
¢
- = +
¢
-f g x f g x d f x g g f x
x
1
0
1 1 1
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t t t t t t t t)d
xx
00
òò
.
Это об ще при ня тая фор ма за пи си ин те гра ла Дюа ме ля.
51
Пусть передаточная функция P ( x ) имеет оригинал P(x):
P ( s) = P ( x ).
Тогда по теореме свёртывания оригиналов:
x
ò f (t) f
0
1 2 ( x - t)dt = f1 ( s) × f 2 ( s)
получаем:
x
f ( x ) = ò P (t) g( x - t)dt
0
Данный интеграл называется интегралом Дюамеля. Его можно
представить в другой форме:
Найдём решение дифференциального уравнения (1), когда в пра-
вой части стоит q-функция, т.е. «единичный» входной сигнал:
g( x ) = q( x ).
x x
f1 ( x ) = ò P (t)q( x - t)dt = ò P (t)dt.
0 0
Продифференцируем это равенство получим: P ( x ) = f1¢( x ).
Таким образом, оригинал передаточной функции равен произ-
водной от f1(x) , отвечающей единому входному сигналу.
x
Таким образом: f ( x ) = ò f1¢(t) g( x - t)dt =[проведём интегрирование
0
x x
x
по частям] = f1 (t) g ( x - t)| 0 + ò f1 (t) g ¢( x - t)dt = f1 ( x ) g(0) + ò g ¢(t) f1 ( x - t)dt.
0 0
Это общепринятая форма записи интеграла Дюамеля.
51
