Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 40 стр.

UptoLike

Составители: 

По оп ре де ле нию:
r
n
r=
и
n kj q p= +2
, от ку да
r = r
;
j
q p
=
+2 k
n
,
сле до ва тель но:
( )
r i r
k
n
i
k
n
cos sin cos sinq q
q p q p
+ =
+
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
2 2
.
д) Фор му ла Эй ле ра
Из вест но, что
e
x x x
x
= + + + +1
1 2 3
2 3
! ! !
K
.
Для ком плекс но го чис ла по ло жим
e
yi yi yi
yi
= + + + +1
1 2 3
2 3
!
( )
!
( )
!
K
или
e
y y y y y y
yi
= - + - +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ - + -
æ
è
ç
ç
1
2 4 6 1 3 5
2 4 6 3 5
! ! ! ! ! !
K K
ö
ø
÷
÷
,
то есть
e y i y
yi
= +cos sin
. (1)
За ме ним у на (–у):
e y i y
yi-
= -cos sin
.
Ре шим эти урав не ния от но си тель но
cosy
и
sin y
:
cosy
e e
yi yi
=
+
-
2
;
sin y
e e
i
yi yi
=
-
-
2
(2)
(1) и (2) — это фор му лы Эй ле ра.
Ис поль зуя фор му лу
e y i y
yi
= +cos sin
, мы мо жем напи сать по ка за -
тель ную фор му ком плекс но го чис ла:
r j j r(cos sin )+ =i e
i
.
Для ком плекс но го по ка за те ля сте пе ни:
e e e e y i y
x iy
x
iy
x
+
= = +(cos sin )
,
то есть
e
x
— мо дуль, а у — ар гу мент.
40
                                                                                q +2 pk
      По определению: r n = r и nj = q +2 pk, откуда r = r ; j =                        ,
                                                                                   n
следовательно:

                                           æ     q + 2 pk         q + 2 pk ö
                 r ( cos q + i sin q ) = r ç cos          + i sin          ÷.
                                           è        n                n ø

      д) Формула Эйлера
                          x x2 x3
      Известно, что e x = 1 +
                            +   +   +K .
                          1! 2 ! 3!
      Для комплексного числа положим

                                           yi (yi) 2 (yi) 3
                              e yi = 1 +      +     +       +K
                                           1!   2!     3!

или

                        æ y2 y4 y6          ö æ y y 3 y5   ö
                e yi = çç 1 -    +  -   +K ÷÷ + çç - + -K ÷÷ ,
                        è     2 ! 4! 6!     ø è 1! 3! 5!   ø

то есть
      e yi = cos y + i sin y .                                                       (1)
      Заменим у на (–у): e - yi = cos y - i sin y .
      Решим эти уравнения относительно cos y и sin y:
                e yi + e - yi           e yi - e - yi
      cos y =                 ; sin y =                                              (2)
                     2                       2i
     (1) и (2) — это формулы Эйлера.
     Используя формулу e yi = cos y + i sin y , мы можем написать показа-
тельную форму комплексного числа:

                                   r(cos j + i sin j) = re i .

      Для комплексного показателя степени:

                            e x + iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y ),

то есть e x — модуль, а у — аргумент.
40