Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4) Ор то го наль ность функ ций
Оп ре де ле ние: Функ ции
j( )x
и
f( )x
, оп ре де лен ные на от рез ке
[ , ]a b
,
на зы ва ют ся ор то го наль ны ми на этом от рез ке, ес ли:
j f( ) ( )x x dx
a
b
=
ò
0
(2)
Из фор му лы (2) вид но, что три го но мет ри че ские функ ции ря да
Фу рье ор то го наль ны. Бо лее то го, они еще и нор ми ро ва ны:
[ ]
j( )x
a
b
2
1
ò
=
(3)
В об щем слу чае сис те ма функ ций
j j j
1
2 3
на зы ва ет ся ор то нор ми -
ро ван ной, ес ли
j j
i
a
b
j
x x dx
i j
i j
ò
=
¹
=
ì
í
î
( ) ( )
,
,
0
1
Функ цию
f x( )
мож но раз ло жить в ряд по ор то го наль ной сис те ме
функ ций:
f x a x
n n
n
( ) ( )=
=
¥
å
j
1
(4)
Оп ре де лим ко эф фи ци ен ты это го ря да
a
n
:
ум но жим (4) на
j
n
x( )
и
про ин тег ри ру ем по член но:
f x x dx a x x dx a x x dx
a
b
n
a
b
n
a
b
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ò ò ò
= +j j j j j
1 1
2 2
[ ] [ ]
+ +
+ + =
ò ò
K
Ka x dx a x dx
n n n
a
b
n
a
b
j j( ) ( )
2 2
,
от ку да:
[ ]
a
f x x dx
x dx
n
n
a
b
n
a
b
= =
ò
ò
( ) ( )
( )
; , , ...
j
j
2
1 2 3
Ес ли сис те ма (4) ор то нор ми ро ва на, то
a f x x dx
n n
a
b
=
ò
( ) ( )j
.
5) Ин те грал Фу рье
Пусть функ ция
f x( )
за да на на от рез ке [–l,l]. То гда её мож но раз -
ло жить на этом от рез ке в ряд Фу рье:
20
     4) Ортогональность функций
     Определение: Функции j( x ) и f( x ), определенные на отрезке [a, b],
называются ортогональными на этом отрезке, если:
      b

      ò j( x)f ( x)dx = 0                                                                  (2)
      a

     Из формулы (2) видно, что тригонометрические функции ряда
Фурье ортогональны. Более того, они еще и нормированы:
      b
                  2
      ò [j( x)]
      a
                        =1                                                                 (3)

     В общем случае система функций j1 j 2 j 3 называется ортонорми-
рованной, если
      b
                             ì0, i ¹ j
     òa ji ( x)j j ( x)dx = íî1, i = j
     Функцию f ( x ) можно разложить в ряд по ортогональной системе
функций:
                  ¥
      f ( x ) = åan j n ( x )                                                              (4)
                 n =1

     Определим коэффициенты этого ряда an : умножим (4) на j n ( x ) и
проинтегрируем почленно:
      b                                 b                         b

      ò   f ( x )j n ( x )dx = a1 ò j1 ( x )j n ( x )dx + a2 ò j 2 ( x )j n ( x )dx +K+
      a                           a                          a                         ,
                                        b                             b
                                                     2                      2
                                 + an ò [ j n ( x )] dx +K = an ò [ j n ( x )] dx
                                        a                             a
                             b

                             ò f ( x)j( x)dx
                             a
      откуда: an =           b
                                                    ; n = 1, 2, 3...
                                             2
                             ò [j
                             a
                                    n   ( x )] dx

                                                                           b
      Если система (4) ортонормирована, то an = ò f ( x )j n ( x )dx .
                                                                           a


     5) Интеграл Фурье
     Пусть функция f ( x ) задана на отрезке [–l,l]. Тогда её можно раз-
ложить на этом отрезке в ряд Фурье:
20

Страницы