Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

То есть
a f x nxdx n
n
= =
-
ò
1
12
p
p
p
( )cos , , ,...
Здесь мы ис поль зо ва ли сле дую щие зна че ния ин те гра лов:
cos cos
,
,
sin sin
,
mx nxdx
m n
m n
mx nxdx
m
-
-
ò
ò
=
¹
=
ì
í
î
=
p
p
p
p
p
0
0 ¹
=
ì
í
î
=
-
ò
n
m n
mx nxdx
p
p
p
,
cos sin 0
Ана ло гич но мож но по ка зать, что
f x nxdx b
n
( )sin =
-
ò
p
p
p
, то есть
b f x nxdx n
n
= =
-
ò
1
12
p
p
p
( )sin , , ,...
За ме тим, что
a
0
и
a
n
мож но объ е ди нить для
n = 0 1, , ...
Так же, за ме -
тим, что пре де лы мож но брать от 0 до
2p
или да же от a до
a +2p
, где a —
про из воль ное чис ло.
a
0
,
a
n
,
b
n
на зы ва ют ся ко эф фи ци ен та ми Фу рье при раз ло же нии
функ ции
f x( )
в ряд Фу рье.
3) Свой ст ва ря да Фу рье
а) ес ли
f x( )
яв ля ет ся сум мой схо дя ще го ся на от рез ке
[ , ]- p p
три го -
но мет ри че ско го ря да, то этот ряд яв ля ет ся ря дом Фу рье функ ции
f x( ).
б) не су ще ст ву ет двух три го но мет ри че ских ря дов, схо дя щих ся на
от рез ке
[ , ]-p p
к од ной и той же функ ции (т.е. раз ло же ние един ст вен но).
в) ря ды Фу рье для чет ных и не чет ных функ ций:
f x dx
f x
f x dx
a
a
a
( )
, ( )—
( ) ,
-
ò
ò
=
0
2
0
если нечетная функция
если четная функцияf x( ) —
ì
í
ï
î
ï
Дей ст ви тель но,
f x dx f x dx f x dx
a
aa
a
( ) ( ) ( )= +
òòò
-- 0
0
сде ла ем под ста нов ку:
x t= - :
17
                     p
                 1
      То есть an =     f ( x )cos nxdx , n = 12
                                              , ,...
                 p -òp
      Здесь мы использовали следующие значения интегралов:
                           p
                                                           ì0, m ¹ n
                          ò cos mx cos nxdx = íî p, m = n
                          -p
                           p
                                                           ì0, m ¹ n
                          ò sin mx sin nxdx = íî p, m = n
                          -p
                           p

                          ò cos mx sin nxdx = 0
                          -p

                                                          p
      Аналогично можно показать, что                      ò f ( x)sin nxdx = pb , то есть
                                                                              n
                                                          -p

                                    p
                                 1
                         bn =          f ( x )sin nxdx , n = 12
                                                              , ,...
                                 p -òp

      Заметим, что a0 и an можно объединить для n = 0, 1, ... Также, заме-
тим, что пределы можно брать от 0 до 2p или даже от a до a +2p, где a —
произвольное число.
      a0 , an , bn называются коэффициентами Фурье при разложении
функции f ( x ) в ряд Фурье.

      3) Свойства ряда Фурье
      а) если f ( x ) является суммой сходящегося на отрезке [-p, p] триго-
нометрического ряда, то этот ряд является рядом Фурье функции f ( x ).
      б) не существует двух тригонометрических рядов, сходящихся на
отрезке [-p, p] к одной и той же функции (т.е. разложение единственно).
      в) ряды Фурье для четных и нечетных функций:

            a
                           ì0, если f ( x )— нечетная функция
                           ï
           ò- a f ( x)dx = í2 a f ( x)dx, если f ( x)— четная функция
                           ï ò
                           î 0
                          a                  0                 a
      Действительно,      ò    f ( x )dx =   ò    f ( x )dx + ò f ( x )dx
                         -a                  -a                0

      сделаем подстановку: x = -t :
                                                                                            17

Страницы