Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ch x
x x x
n
n
n
= + + + =
=
¥
å
1
2 4 2
2 4 2
0
! ! ( )!
K
.
5) При ме не ние сте пен ных ря дов в вы чис ле нии ин те гра лов:
Вы чис лить ин те грал:
e dx
x-
ò
2
0
1 2
;
e
t t t
n
t
n
= + + + + +1
1 2
2
! ! !
K K
, где
t x= -
2
;
e
x t x
n
x n
n
-
= - + - - +
2
1
1 2
1
2 4 2
! !
...( )
!
K
;
e dx x
x x x
x-
ò
= - + - +
é
ë
ê
ù
û
ú
= -
2
0
1 2
3 5 7
0
1 2
3
3
1
2 5
1
3 7
1
2
1
3
1
2
! !
K + - +
1
2
1
2 5
1
3
1
2 7
5 7
! !
K
»
0,46
2.4.4 Ря ды Фу рье
1) Ес ли в при ро де мно гие про цес сы об на ру жи ва ют ха рак тер экс -
по нен ци аль но го рос та (или спа да), то в тех ни ке пре иму ще ст вен но на -
блю да ют ся про цес сы ти па гар мо ни че ских ко ле ба ний.
При мер: Рас смот рим ко ле ба ния ма ят ни ка.
По за ко ну Нью то на:
F ma=
;
a
d z
dt
=
2
2
;
m
d z
dt
kz
2
2
= -
;
С дру гой сто ро ны
F kz= -
; та ким об ра зом:
13
                    x2 x4        ¥
                                       x 2n
       ch x = 1 +      +   +K = å           .
                    2 ! 4!      n = 0 (2 n)!


       5) Применение степенных рядов в вычислении интегралов:
                                   1 2
                                           2
       Вычислить интеграл: ò e - x dx ;
                                    0

                       t t2      tn
            e t = 1 + + +K+ +K, где t = - x 2 ;
                       1! 2 !    n!
              -x 2        x2 t4           x 2n
            e       =1-      + -...(-1) n      +K ;
                          1! 2 !           n!
1 2                                              1 2
      -x 2         é     x 3 1 x5 1 x 7        ù     1 1 1 1 1      1 1
 ò0 e      dx   =  ê x -    +     -        +K  ú = - 3 +          -         +K»0,46
                   ë      3 2 ! 5 3! 7         û0    2 32  2 ! 2 5 3! 2 7 7
                                                                5




       2.4.4 Ряды Фурье

     1) Если в природе многие процессы обнаруживают характер экс-
поненциального роста (или спада), то в технике преимущественно на-
блюдаются процессы типа гармонических колебаний.

       Пример: Рассмотрим колебания маятника.




       По закону Ньютона: F = ma;
                                         d2 z d2 z
                                 a=           ; m 2 = -kz;
                                         dt 2    dt
       С другой стороны F = -kz; таким образом:
                                                                                  13

Страницы