Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Раз ло жим эту функ цию в ряд Мак ло ре на по пе ре мен ной t:
F t F F t
F
t
F
n
t
n
n
( ) ( ) ( )
( )
!
( )
!
( )
= + ¢ +
¢¢
+ +0 0
0
2
0
2
K
(4)
Ис поль зуя (3) по лу чим:
F t f x t x y t y x f x t x y t y y
x y
¢ = ¢ + + + ¢ + + =
=
( ) ( , ) ( , )
0 0 0 0
D D D D D D
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ +
x
x
y
y f x t x y t yD D D D( , )
0 0
¢¢
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ +F t
x
x
y
y f x t x y t y( ) ( , )D D D D
2
0 0
F t
x
x
y
y f x t x y t y
n
n
( )
( ) ( , )=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ +D D D D
0 0
От сю да на хо дим:
F f x y( ) ( , )0
0 0
=
F
x
x
y
y f x y¢ =
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
( ) ( , )0
0 0
D D
( )
¢¢
=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
F
x
x
y
y f x y0
2
0 0
D D ( , )
и т. д.
Под ста вив эти зна че ния в фор му лу (4), по ло жив
t =1
, по лу чим:
f x x y y f x y
x
x
y
y f x y( , ) ( , ) ( ,
0 0 0 0 0 0
+ + = +
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
D D D D )+
( )
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+ +
+
æ
è
ç
1
2
1
2
0 0
!
,
!x
x
y
y f x y
n x
x
y
yD D D DK
ç
ö
ø
÷
÷
n
f x y( , )
0 0
Это фор му ла Тей ло ра для функ ции двух пе ре мен ных.
4) Ос нов ные раз ло же ния функ ций в ряд Мак ло ре на:
а)
f x e
x
( ) =
;
f x f x f x e
n
x
¢ = ¢¢ = = = =( ) ( ) ( )
( )
K K
При
x = 0
f f f f
n
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 0 1= ¢ = ¢¢ = = = =K K
.
Сле до ва тель но:
e
x x x
n
x
n
x
n n
n
= + + + + + =
=
¥
å
1
1 2
2
0
! ! ! !
K K
.
Те перь на до до ка зать, что
R x
e
n
x
n
x
n
( )
( )!
=
+
®
+
1
0
1
.
11
Разложим эту функцию в ряд Маклорена по переменной t:
                            F ¢¢(0) 2    F ( n ) (0) n
F (t ) = F (0) + F ¢ (0)t +        t +K+            t                                (4)
                              2!            n!
Используя (3) получим:

F ¢ (t ) = f ¢ x ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )Dx + f ¢ y ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )Dy =
           æ ¶    ¶   ö
        = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )
           è ¶x  ¶y   ø
                                2
            æ ¶    ¶   ö
F ¢¢(t ) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )
            è ¶ x ¶ y  ø
                                    n
  (n)        æ ¶           ¶   ö
F (t ) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 + tDx , y 0 + tDy )
             è ¶x         ¶y   ø
Отсюда находим:
F (0) = f ( x 0 , y 0 )
           æ ¶          ¶    ö
F ¢ (0) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 )
           è ¶x         ¶y   ø
                                    2
            æ ¶          ¶      ö
F ¢¢( 0) = çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) и т. д.
            è ¶x       ¶y       ø
Подставив эти значения в формулу (4), положив t =1, получим:
                                               æ ¶    ¶   ö
f ( x 0 + Dx , y 0 + Dy ) = f ( x 0 , y 0 ) + çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) +
                                               è ¶x  ¶y   ø
                          2                                              n
 1æ ¶      ¶   ö                   1æ ¶      ¶  ö
+ çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 ) +K+ çç Dx + Dy ÷÷ f ( x 0 , y 0 )
 2 ! è ¶x ¶y   ø                   n ! è ¶x ¶y  ø
Это формула Тейлора для функции двух переменных.

4) Основные разложения функций в ряд Маклорена:
а) f ( x ) = e x ; f ¢ ( x ) = f ¢¢ ( x ) =K = f ( n ) ( x ) =K = e x
При x = 0 f (0) = f ¢ (0) = f ¢¢ (0) =K = f ( n ) (0) =K = 1.
                       x x2           xn            ¥
                                                        xn
Следовательно: e x = 1 + +     +K+         +K = å .
                       1! 2 !          n!          n =0 n !
                                         x
                                       e
Теперь надо доказать, что Rn ( x ) =         x n + 1 ® 0.
                                     (n +1)!

                                                                                     11

Страницы