Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 3. Казанцев Э.Ф. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

д) Сум ма схо дя ще го ся и рас хо дя ще го ся ря да — рас хо дя щий ся ряд.
е) Сум ма двух рас хо дя щих ся ря дов мо жет быть раз ная и схо дя -
щая ся и рас хо дя щая ся.
3) При зна ки схо ди мо сти ря дов
а) Кри те рий Ко ши:
Для то го, что бы ряд
u
n
n=
¥
å
1
был схо дя щим ся, не об хо ди мо и дос та -
точ но, что бы для лю бо го чис ла
e
су ще ст во вал та кой но мер N, что при
n N>
и лю бом це лом
p > 0
вы пол ни лось бы не ра вен ст во:
u u u
n
n n p
+
+ +
+ + + <
1
2
K e
, или
S S
n p n+
- < e
то есть, что бы все дос та точ но да ле ко ле жа щие от рез ки это го ря да бы ли
по мо ду лю как угод но ма лы.
б) При знак Да лам бе ра:
Ес ли для ря да
u
n
å
су ще ст ву ет та кое чис ло q, что для всех дос та -
точ но боль ших n вы пол ня ет ся не ра вен ст во
u
u
q
n
n
+
£ <
1
1
, то ряд
u
n
å
схо -
дит ся, ес ли же
u
u
n
n
+
³
1
1
, то ряд
u
n
å
рас хо дит ся.
4) Зна ко пе ре мен ные или зна ко че ре дую щие ся ря ды:
u u u u u
n
n
1
2 3 4
1
1- + - + + - +
+
L L( )
а) При знак Лейб ни ца: Ес ли у зна ко че ре дую ще го ся ря да аб со лют -
ные ве ли чи ны чле нов ря да убы ва ют
u u u
1
2 3
> > >K
и об щий член стре -
мит ся к ну лю
u
n
® 0
, то ряд схо дит ся.
2.4.2 Функ цио наль ные ря ды
1) Функ цио наль ная по сле до ва тель ность
Рас смот рим бес ко неч ную по сле до ва тель ность функ ций f
1
(x), f
2
(x),
f3(x) ... f
n
(x), не пре рыв ных на не ко то ром от рез ке [a,b].
Ес ли в этой по сле до ва тель но сти по ло жить x=x
0
, то гда мы по лу чим
чи сло вую по сле до ва тель ность: f
1
(x
0
), f
2
(x
0
) ... f
n
(x
0
).
Ес ли эта чи сло вая по сле до ва тель ность схо дит ся, то го во рят, что и
функ цио наль ная по сле до ва тель ность схо дит ся в точ ке x
0
. Со во куп ность
5
     д) Сумма сходящегося и расходящегося ряда — расходящийся ряд.
     е) Сумма двух расходящихся рядов может быть разная и сходя-
щаяся и расходящаяся.

     3) Признаки сходимости рядов
     а) Критерий Коши:
                                ¥
     Для того, чтобы ряд       åu
                               n =1
                                      n   был сходящимся, необходимо и доста-

точно, чтобы для любого числа e существовал такой номер N, что при
n > N и любом целом p > 0 выполнилось бы неравенство:
                u n + 1 + u n + 2 +K+u n + p < e, или S n + p - S n < e

то есть, чтобы все достаточно далеко лежащие отрезки этого ряда были
по модулю как угодно малы.
      б) Признак Даламбера:
      Если для ряда åu n существует такое число q, что для всех доста-
                                               u
точно больших n выполняется неравенство n + 1 £ q < 1, то ряд åu n схо-
                                                un
               u n +1
дится, если же        ³ 1, то ряд åu n расходится.
                un

     4) Знакопеременные или знакочередующиеся ряды:
                     u1 - u 2 + u 3 - u 4 +L+(-1) n + 1 u n +L

      а) Признак Лейбница: Если у знакочередующегося ряда абсолют-
ные величины членов ряда убывают u1 > u 2 > u 3 >K и общий член стре-
мится к нулю u n ® 0, то ряд сходится.

     2.4.2 Функциональные ряды

        1) Функциональная последовательность
        Рассмотрим бесконечную последовательность функций f1(x), f2(x),
f3(x) ... fn(x), непрерывных на некотором отрезке [a,b].
        Если в этой последовательности положить x=x0, тогда мы получим
числовую последовательность: f1(x0), f2(x0) ... fn(x0).
        Если эта числовая последовательность сходится, то говорят, что и
функциональная последовательность сходится в точке x0. Совокупность
                                                                            5

Страницы