Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.2.1 Ос нов ные по ня тия
Оп ре де ле ние 1: Пе ре мен ная z на зы ва ет ся функ ци ей двух пе ре мен -
ных x и y, ес ли ка ж дой па ре чи сел (x,y) по оп ре де лен но му пра ви лу ста -
вит ся в со от вет ст вие од но или не сколь ко зна че ний пе ре мен ной z.
Ес ли — од но зна че ние, то z на зы ва ют од но знач ной функ ци ей, ес -
ли — мно го зна че ний, то — мно го знач ной функцией.
х и у — не за ви си мые пе ре мен ные, z – за ви си мая пе ре мен ная или
функ ция.
Мно же ст во пар чи сел (х,у) для ко то рых оп ре де ле на функ ция z,
на зы ва ет ся об ла стью оп ре де ле ния этой функции.
Обо зна ча ет ся :
z f x y= ( , )
;
z x y= j( , )
;
z F x y= ( , )
.
Ча ст ное зна че ние функ ции z при
x x=
0
,
y y=
0
обо зна ча ет ся
f x y( , )
0 0
.
Функ ция z мо жет за да вать ся ана ли ти че ски, гра фи че ски, таб -
лично.
При ме ры:
z x y= + +ln( )1
4 4
, или
V R H=
p
3
2
— объ ем ко ну са (пе ре -
мен ные R, H), или
z x y= +
2 2
— па ра бо ло ид вращения.
В пря мо уголь ной сис те ме ко ор ди нат об ласть оп ре де ле ния обо -
зна ча ет ся не ко то рым мно же ст вом то чек. На при мер, для функ ции
z x y= + +ln( )1
4 4
— это вся плос кость ХOY кро ме кру га с цен тром в точ ке
(0,0) и ра диу са 1.
Гео мет ри че ски функ ция
z f x y= ( , )
изо бра жа ет ся в ви де по верх но -
сти.
Оп ре де ле ние 2: ли ни ей уров ня функ ции
z f x y= ( , )
на зы ва ет ся гео -
мет ри че ское мно же ст во то чек (х,у) плос ко сти, в ко то рой функ ция при -
ни ма ет од но и то же зна че ние с:
f x y c( , ) =
.
Ана ло гич но вво дит ся по ня тие функ ций 3-х пе ре мен ных и так да -
лее. Здесь мы ог ра ни чим ся рас смот ре ни ем функ ций 2-х переменных.
1) По ня тие пре де ла функ ции 2-х пе ре мен ных
Рас смот рим по сле до ва тель ность то чек на плос ко сти ХOY:
M x y
1 1 1
( , )
;
M x y
2 2 2
( , )
…
M x y
n n n
( , )
.
4
      2.2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
      НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

      2.2.1 Основные понятия

           Определение 1: Переменная z называется функцией двух перемен-
ных x и y, если каждой паре чисел (x,y) по определенному правилу ста-
вится в соответствие одно или несколько значений переменной z.
           Если — одно значение, то z называют однозначной функцией, ес-
ли — много значений, то — многозначной функцией.
           х и у — независимые переменные, z – зависимая переменная или
функция.
           Множество пар чисел (х,у) для которых определена функция z,
называется областью определения этой функции.
           Обозначается : z = f ( x , y ); z = j( x , y ); z = F ( x , y ).
           Частное значение функции z при x = x 0 , y = y 0 обозначается
f ( x 0 , y 0 ).
           Функция z может задаваться аналитически, графически, таб-
лично.
                                                           p
           Примеры: z = ln(1 + x 4 + y 4 ), или V = R 2 H — объем конуса (пере-
                                                           3
менные R, H), или z = x 2 + y 2 — параболоид вращения.
           В прямоугольной системе координат область определения обо-
значается некоторым множеством точек. Например, для функции
z = ln(1 + x 4 + y 4 ) — это вся плоскость ХOY кроме круга с центром в точке
(0,0) и радиуса 1.
           Геометрически функция z = f ( x , y ) изображается в виде поверхно-
сти.
           Определение 2: линией уровня функции z = f ( x , y ) называется гео-
метрическое множество точек (х,у) плоскости, в которой функция при-
нимает одно и то же значение с: f ( x , y ) = c.
           Аналогично вводится понятие функций 3-х переменных и так да-
лее. Здесь мы ограничимся рассмотрением функций 2-х переменных.
      1) Понятие предела функции 2-х переменных
          Рассмот рим после дователь ность точек на плоскости ХOY:
M 1 ( x 1 , y 1 ); M 2 ( x 2 , y 2 ) … M n ( x n , y n ).

4

Страницы