Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Оп ре де ле ние 3: по сле до ва тель ность то чек M
1
, M
2
… M
n
cходится в точ -
ке М
0
(х
0
,у
0
), ес ли рас стоя ние
M M x x y y
n n n0 0
2
0
2
= - + -( ) ( )
cтремится к
ну лю при
n ® ¥
, или, что то же, ес ли
x x
n
®
0
,
y y
n
®
0
при
n ® ¥
.
Пусть функ ция
z f x y= ( , )
за да на в не ко то рой об лас ти точ ки М
0
.
Оп ре де ле ние 4: Ес ли для лю бой по сле до ва тель но сти то чек M
1
, M
2
…
M
n
в ок ре ст но сти точ ки М
0
, схо дя щей ся к точ ке М
0
, со от вет ст вую щая
по сле до ва тель ность зна че ний функ ции f(x
1
, y
1
), f(x
2
, y
2
) … f(x
n
, y
n
) име -
ет пре де лом чис ло А, то это чис ло А на зы ва ет ся пре де лом функ ции f(x, y)
при
x x®
0
,
y y®
0
:
lim ( , )f x y A=
, или
f x y A( , ) ®
при
x x®
0
,
y y®
0
При мер: функ ция
f x y x y( , ) = +
2 2
оп ре де ле на на всей плос ко сти
ХOY. Рас смот рим точ ку М
0
(1, 2). Для лю бой по сле до ва тель но сти то чек
плос ко сти ХOY, схо дя щих ся к точ ке М
0
име ем:
lim( )x y
n n
2 2 2 2
1 2 5+ = + =
.
Сле до ва тель но :
lim( )x y
n n
2 2
5+ =
.
Оп ре де ле ние 5: функ ция f(x,y) на зы ва ет ся бес ко неч но ма лой при
x x®
0
,
y y®
0
, ес ли
lim ( , )f x y = 0
. В даль ней шем бу дем рас смат ри вать
толь ко ко неч ные пре де лы. Ана ло гич но вво дит ся по ня тие пре де ла
функ ции 3-х пе ре мен ных и т. д. Толь ко здесь уже нет гео мет ри че ской
на гляд но сти.
2) Не пре рыв ность функ ции 2-х пе ре мен ных
Оп ре де ле ние 6: функ ция
z f x y= ( , )
, оп ре де лен ная в не ко то рой
области точ ки (х
0
,у
0
), на зы ва ет ся не пре рыв ной в этой точ ке, ес ли
lim ( , ) ( , )f x y f x y=
0 0
.
Ес ли функ ция f(x, y) оп ре де ле на в ок ре ст но сти точ ки М
0
(х
0
,у
0
) и не
яв ля ет ся не пре рыв ной в этой точ ке, бу дем на зы вать ее раз рыв ной в этой
точ ке М
0
.
При ме ры: Функ ция
Z x y= +
2 2
не пре рыв на всю ду.
Функ ция
Z
x y
=
+
1
2 2
раз рыв на в точ ке (0,0).
Оп ре де ле ние 7: Мно же ст во то чек плос ко сти на зы ва ет ся связ ным,
ес ли лю бые две точ ки это го мно же ст ва мож но со еди нить не пре рыв ной
кри вой, со стоя щей из то чек то го же мно же ст ва.
При ме ры: а) мно же ст во то чек внут ри кру га — связ но;
б) мно же ст во из трех от дель ных то чек — не связ но;
5
      Определение 3: последовательность точек M1, M2 … Mn cходится в точ-
ке М0(х0,у0), если расстояние M n M 0 = ( x n - x 0 ) 2 + (y n - y 0 ) 2 cтремится к
нулю при n ® ¥, или, что то же, если x n ® x 0 , y n ® y 0 при n ® ¥.
      Пусть функция z = f ( x , y ) задана в некоторой области точки М0.
      Определение 4: Если для любой последовательности точек M1, M2 …
Mn в окрестности точки М0, сходящейся к точке М0, соответствующая
последовательность значений функции f(x1, y1), f(x2, y2) … f(xn, yn) име-
ет пределом число А, то это число А называется пределом функции f(x, y)
при x ® x 0 , y ® y 0 :

             lim f ( x , y ) = A, или f ( x , y ) ® A при x ® x 0 , y ® y 0

      Пример: функция f ( x , y ) = x 2 + y 2 определена на всей плоскости
ХOY. Рассмотрим точку М0(1, 2). Для любой последовательности точек
плоскости ХOY, сходящихся к точке М0 имеем: lim( x n2 + y n2 ) = 12 + 2 2 = 5.
      Следовательно : lim( x n2 + y n2 ) = 5.
      Определение 5: функция f(x,y) называется бесконечно малой при
x ® x 0 , y ® y 0 , если lim f ( x , y ) = 0. В дальнейшем будем рассматривать
только конечные пределы. Аналогично вводится понятие предела
функции 3-х переменных и т. д. Только здесь уже нет геометрической
наглядности.
      2) Непрерывность функции 2-х переменных
        Определение 6: функция z = f ( x , y ), определенная в некоторой
области точки (х0,у0), называется непрерывной в этой точке, если
lim f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ).
        Если функция f(x, y) определена в окрестности точки М0(х0,у0) и не
является непрерывной в этой точке, будем называть ее разрывной в этой
точке М0.
        Примеры: Функция Z = x 2 + y 2 непрерывна всюду.
                                             1
                            Функция Z = 2         разрывна в точке (0,0).
                                          x +y2
        Определение 7: Множество точек плоскости называется связным,
если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной
кривой, состоящей из точек того же множества.
        Примеры: а) множество точек внутри круга — связно;
                            б) множество из трех отдельных точек — не связно;
                                                                                  5

Страницы