Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

По ня тие не пре рыв но сти функ ции в точ ке и в об лас ти ана ло гич но
фор му ли ру ет ся и для функ ции 3-х пе ре мен ных и т. д.
2.2.2 Дифференциальное исчисление функции двух переменных
1) Пусть за да на функ ция 2-х пе ре мен ных
z f x y= ( , )
. Возь мем точ -
ку
M x y( , )
и да дим х при ра ще ние
Dx
, при
y =const
, при этом функ ция
f x y( , )
по лу чит приращение
D D
x
z f x x y f x y= + -( , ) ( , )
— оно на зы ва ет ся ча ст ным при ра ще ни ем
функ ции по х .
От но ше ние
D
D
D
D
x
z
x
f x x y f x y
x
=
+ -( , ) ( , )
— это сред няя ско рость из -
ме не ния функ ции
z f x y= ( , )
по пе ре мен ной х от точ ки М до М’.
Пре дел это го от но ше ния при
Dx ®0
:
lim
( , ) ( , )
D
D
D
x
f x x y f x y
x
®
+ -
0
на зы ва ет ся ча ст ной про из вод ной
z f x y= ( , )
по пе ре мен ной х.
Обо зна ча ет ся
z
x
;
¢
z
x
;
f x y
x
( , )
;
¢
f x y
x
( , )
.
Ана ло гич но, счи тая
x =const
, и да вая при ра ще ние
Dy
мы по лу чим
ча ст ную про из вод ную по у.
= =
+ -
® ®
z
y
z
y
f x y y f x y
y
y
y
y
lim lim
( , ) ( , )
D D
D
D
D
D
0 0
Обо зна ча ет ся
z
y
;
¢
z
x
;
f x y
y
( , )
;
¢
f x y
y
( , )
.
Ча ст ные про из вод ные
¢
f x y
x
( , )
и
¢
f x y
y
( , )
яв ля ют ся функ ция ми двух
пе ре мен ных. Вы чис ле ние ча ст ных про из вод ных про из во дит ся по из -
вест ным пра ви лам для функ ции од ной пе ре мен ной.
При мер:
f x y x xy y( , ) = + +
2 2 3
;
¢
= +f x y x y
x
( , ) 2
2
;
¢
= +f x y xy y
y
( , ) 2 3
2
.
Гео мет ри че ский смысл ча ст ной про из вод ной:
¢
f x y
x
( , )
— это tg уг ла
на кло на к оси ОХ ка са тель ной в точ ке
( )
N x y f x y
0 0 0 0 0
, ( , )
се че ния по -
верх но сти S плос ко стью
y y=
0
. Ана ло гич но вво дит ся по ня тие ча ст ной
про из вод ной лю бо го чис ла пе ре мен ных.
7
    Понятие непрерывности функции в точке и в области аналогично
формулируется и для функции 3-х переменных и т. д.

        2.2.2 Дифференциальное исчисление функции двух переменных

           1) Пусть задана функция 2-х переменных z = f ( x , y ). Возьмем точ-
ку M ( x , y ) и дадим х приращение Dx, при y = const, при этом функция
f ( x , y ) получит приращение
           D x z = f ( x + Dx , y ) - f ( x , y ) — оно называется частным приращением
функции по х .
                            D z f ( x + Dx , y ) - f ( x , y )
           Отношение x =                                       — это средняя скорость из-
                            Dx                     Dx
менения функции z = f ( x , y ) по переменной х от точки М до М’.
           Предел этого отношения при Dx ® 0:
                                            f ( x + Dx , y ) - f ( x , y )
                                   lim
                                   D x ®0              Dx

называется частной производной z = f ( x , y ) по переменной х.
                   ¶z     ¶f ( x , y )
     Обозначается ; zx¢ ;             ; f x¢( x , y ).
                   ¶x        ¶x
     Аналогично, считая x = const, и давая приращение Dy мы получим
частную производную по у.

                        ¶z        Dyz         f ( x , y + Dy ) - f ( x , y )
                           = lim      = lim
                        ¶ y D y ®0 D y D y ®0             Dy

                        ¶z         ¶f ( x , y )
        Обозначается       ; zx¢ ;             ; f y¢ ( x , y ).
                        ¶y            ¶y
     Частные производные f x¢( x , y ) и f y¢ ( x , y ) являются функциями двух
переменных. Вычисление частных производных производится по из-
вестным правилам для функции одной переменной.
     Пример: f ( x , y ) = x 2 + xy 2 + y 3 ; f x¢( x , y ) = 2 x + y 2 ; f y¢ ( x , y ) = 2 xy + 3y 2 .
     Геометрический смысл частной производной: f x¢( x , y ) — это tg угла
наклона к оси ОХ касательной в точке N 0 ( x 0 y 0 , f ( x 0 , y 0 )) сечения по-
верхности S плоскостью y = y 0 . Аналогично вводится понятие частной
производной любого числа переменных.
                                                                                                      7

Страницы