Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

На пом ним слу чай од ной пе ре мен ной:
При ра ще ние функ ции
y x=
3
:
D D D D Dy x x x x x x x x= + - = + +( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3
3 3
,
в то вре мя как диф фе рен ци ал
dy x x= 3
2
D
— глав ная часть. Ана ло гич но
по сту па ют и в слу чае двух пе ре мен ных:
D D D D Dz f x x y y f x y f x y x f x y y
x y
= + + - »
¢
+
¢
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
,
от ку да
f x x y y f x y f x y x f x y y
x y
( , ) ( , ) ( , ) ( , )+ + » +
¢
+
¢
D D D D
.
3) Про из вод ная слож ной функ ции.
Пусть
z f x y= ( , )
— функ ция двух пе ре мен ных x и y, ка ж дая из ко -
то рых, в свою оче редь, яв ля ет ся функ ци ей не за ви си мой пе ре мен ной t:
x t( )
и
y t( )
. То гда
z f x t y t= ( ( ), ( ))
– слож ная функ ция не за ви си мой пе ре -
мен ной t. Пе ре мен ные x и y на зы ва ют ся про ме жу точ ны ми перемен -
ными.
Тео ре ма 4: Ес ли функ ции x(t) и y(t) диф фе рен ци руе мы в точ ке t,
а функ ция
z f x y= ( , )
— диф фе рен ци руе ма в точ ке
( , )x y
, где
x x t= ( )
,
y y t= ( )
, то слож ная функ ция
z f x t y t= ( ( ), ( ))
так же диф фе рен ци руе ма
в точ ке t, при чем в этой точ ке
dz
dt
z
x
dx
dt
z
y
dy
dt
=
+
.
До ка за тель ст во: да дим при ра ще ние
Dt
:
D Dx x t t x t= + -( ) ( )
;
D Dy y t t y t= + -( ) ( )
. Со от вет ст вую щее при ра ще ние функ ции
Dz
:
( )
D D D D D Dz f x x y y f x y f x y x f x y y x
x y
= + + - =
¢
+
¢
+ +( , ) , ( , ) ( , ) a a
1
2
Dy
,
где a
1
и a
2
— бес ко неч но ма лые при
Dx ®0
,
Dy ® 0
.
Раз де лим Dz на Dt:
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
z
t
f x y
x
t
f x y
y
t
x
t
y
t
x y
=
¢
+
¢
+ +( , ) ( , ) a a
1
2
по ус ло вию
lim ;
D
D
D
t
x
t
dx
dt
®
=
0
lim
D
D
D
t
y
t
dy
dt
®
=
0
в точ ке t.
Кро ме то го, т.к. функ ции x(t) и y(t) диф фе рен ци руе мы в точ ке t, то
они не пре рыв ны в этой точ ке, зна чит при
Dt ®0
и
Dx ® 0
,
Dy ® 0
и как
след ст вие
a
1
® 0
и
a
2
® 0
. Та ким об ра зом при
Dt ®0
су ще ст ву ет пре -
дел:
lim ( , ) ( , )
D
D
z
t
dz
dt
f x y
dx
dt
f x y
dz
dt
z
x
dx
dt
x y
= =
¢
+
¢
® =
+
z
y
dy
dt
.
9
        Напомним случай одной переменной:
        Приращение функции y = x 3 :
                     Dy = ( x + Dx ) 3 - x 3 = 3 x 2 Dx + 3 x (Dx ) 2 + (Dx ) 3 ,
в то время как дифференциал dy = 3 x 2 Dx — главная часть. Аналогично
поступают и в случае двух переменных:
               Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) » f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy ,
откуда f ( x + Dx , y + Dy ) » f ( x , y ) + f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy .
         3) Производная сложной функции.
         Пусть z = f ( x , y ) — функция двух переменных x и y, каждая из ко-
торых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t:
x (t ) и y (t ). Тогда z = f ( x (t ), y (t )) – сложная функция независимой пере-
менной t. Переменные x и y называются промежуточными перемен-
ными.
         Теорема 4: Если функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t,
а функция z = f ( x , y ) — дифференцируема в точке ( x , y ), где x = x (t ),
y = y (t ), то сложная функция z = f ( x (t ), y (t )) также дифференцируема
                                             dz ¶z dx ¶z dy
в точке t, причем в этой точке =                      +     .
                                             dt ¶x dt ¶y dt
         До ка за тель ст во: да дим при ра ще ние Dt: Dx = x (t + Dt ) - x (t );
Dy = y (t + Dt ) - y (t ). Соответствующее приращение функции Dz:
   Dz = f ( x + Dx , y + Dy ) - f ( x , y ) = f x¢( x , y )Dx + f y¢ ( x , y )Dy + a 1 Dx + a 2 Dy,
где a1 и a2 — бесконечно малые при Dx ® 0, Dy ® 0.
        Разделим Dz на Dt:
                      Dz                 Dx                  Dy      Dx      Dy
                         = f x¢( x , y )    + f y¢ ( x , y )    +a 1    +a 2
                      Dt                 Dt                  Dt      Dt      Dt
                      Dx dx       Dy dy
        по условию lim   = ; lim       =    в точке t.
                      Dt dt Dt ®0 Dt dt
                           D t ®0

      Кроме того, т.к. функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t, то
они непрерывны в этой точке, значит при Dt ® 0 и Dx ® 0, Dy ® 0 и как
следствие a 1 ® 0 и a 2 ® 0. Таким образом при Dt ® 0 существует пре-
дел:
                     Dz dz              dx                 dz ¶z dx ¶z dy
               lim     = = f x¢( x , y ) + f y¢ ( x , y ) ® =      +      .
                     Dt dt              dt                 dt ¶x dt ¶y dt

                                                                                                      9

Страницы