Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Эта фор ма за пи си диф фе рен циа ла на зы ва ет ся ин ва ри ант ной,
т.к. от но сит ся и к не за ви си мым и к за ви си мым переменным.
Ис поль зуя эту фор му, мож но по лу чить для функ ции двух пе ре -
мен ных сле дую щие свойства:
Пусть
z f x y
1
= ( , )
;
z x y
2
= j( , )
а)
d cf cdf( ) =
, c — const
б)
d f df d( )± = ±j j
в)
d f df f d( )× = × + ×j j j
г)
d
f df fd
j
j j
j
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-
2
Ана ло гич но за пи сы ва ют ся фор му лы для функ ции не сколь ких
переменных
u f x y z w= ( , , , , )K
;
du
u
x
dx
u
y
dy
u
z
dz
u
w
dw=
+
+
+ +
L
5) Про из вод ная по на прав ле нию.
Рас смот рим функ цию
z f x y= ( , )
и еди нич ный век тор
{ }
r
n cos ,cosa b
(рис. 2.2.1). Пе рей дем из точ ки М в точ ку М1, по на прав -
ле нию
r
n
. При этом функ ция z по лу чит приращение:
D D Dz f x x y y= + +( , )
Раз де лим при ра ще ние Dz на дли ну от рез ка
MM
1
®
Оп ре де ле ние 12: пре дел от но ше ния
Dz
MM| |
1
®
при стрем ле нии точ ки
М к точ ке М
1
, ес ли он су ще ст ву ет и ко не чен, на зы ва ет ся про из вод ной
функ ции
z f x y= ( , )
в точ ке М по на прав ле нию век то ра
n
®
.
11
x
y
M
M
1
a
b
n
Ри су нок 2.2.1
       Эта форма записи дифференциала называется инвариантной,
т.к. относится и к независимым и к зависимым переменным.
       Используя эту форму, можно получить для функции двух пере-
менных следующие свойства:
       Пусть z1 = f ( x , y ); z2 = j( x , y )
       а) d(cf ) = cdf , c — const
       б) d( f ± j) = df ± dj
       в) d( f × j) = df × j + f × dj
             æ f ö dfj - fdj
       г) d çç ÷÷ =
             è jø         j2
       Аналогично записываются формулы для функции нескольких
переменных
       u = f ( x , y , z,K, w);
              ¶u         ¶u     ¶u             ¶u
       du = dx + dy + dz +L + dw
              ¶x         ¶y      ¶z           ¶w
      5) Производная по направлению.

                           y                     n
                                    b       M1
                                        a

                                M                    x
                                Рисунок 2.2.1


r     Рас смот рим функ цию z = f ( x , y ) и еди ничный вектор
n{cos a ,cos
        r b} (рис. 2.2.1). Перейдем из точки М в точку М1, по направ-
лению n. При этом функция z получит приращение:
                           Dz = f ( x + Dx , y + Dy )
                                                         ®
     Разделим приращение Dz на длину отрезка MM 1
                                         Dz
     Определение 12: предел отношения          при стремлении точки
                                         ®
                                      | MM 1 |
М к точке М1, если он существует и конечен, называется производной
                                                             ®
функции z = f ( x , y ) в точке М по направлению вектора n.

                                                                  11

Страницы