Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Все эти функ ции не пре рыв ны в ок ре ст но стях точ ки
( , )0 1-
, при -
чем
¢
- ¹F
y
( , )0 1 0
, значит
¢
= -
+
+
y
x ye
y xe
xy
xy
( )
( )
4
5
3
4
;
в точ ке
( , )0 1-
y¢=
1
5
.
б) Для функ ции двух пе ре мен ных:
Функ цию
z f x y= ( , )
бу дем на зы вать не яв но за дан ной урав не ни ем
F x y z( , , ) = 0
.
Ча ст ные про из вод ные:
= -
¢
¢
z
x
F x y z
F x y z
x
z
( , , )
( , , )
;
= -
¢
¢
z
z
F x y z
F x y z
y
z
( , , )
( , , )
.
При чем
¢
¹F x y z
z
( , , ) 0
— это ус ло вие су ще ст во ва ния не яв ной
функции.
7) Ка са тель ная и нор маль к пло ской кри вой.
Пусть пло ская кри вая за да на урав не ни ем
f x y( , ) = 0
. Возь мем точ -
ку
( , )x y
0 0
. Урав не ние ка са тель ной:
y y
dy
dx
x x
y
x
- = × -
0 0
0
0
( )
или так как
dy
dx
F x y
F x y
y
x
x
y
0
0
0 0
0 0
= -
¢
¢
( , )
( , )
,
то
y y
F x y
F x y
x x
x
н
- = -
¢
¢
-
0
0 0
0 0
0
( , )
( , )
( )
.
¢
- +
¢
- =F x y x x F x y y y
x y
( , )( ) ( , )( )
0 0 0 0 0 0
0
— урав не ние ка са тель ной.
Урав не ние нор ма ли за пи шем из ус ло вия пер пен ди ку ляр но сти
прямых
¢
- +
¢
- =F x y x x F x y y y
y x
( , )( ) ( , )( )
0 0 0 0 0 0
0
или
x x
F x y
y y
F x y
x y
-
¢
=
-
¢
0
0 0
0
0 0
( , ) ( , )
.
13
       Все эти функции непрерывны в окрестностях точки (0,-1), при-
чем F y¢ (0,-1) ¹ 0, значит
                                               (4 x 3 + ye xy )
                                      y¢ = -                   ;
                                               (5y 4 + xe xy )
                     1
в точке (0,-1) y¢ = .
                     5
           б) Для функции двух переменных:
           Функцию z = f ( x , y ) будем называть неявно заданной уравнением
F ( x , y , z) = 0.
           Частные производные:
                         ¶z   F ¢( x , y , z) ¶z     F y¢ ( x , y , z)
                            =- x              ;   =-                  .
                         ¶x   F z¢( x , y , z) ¶z    F z¢( x , y , z)
     Причем F z¢( x , y , z) ¹ 0 — это условие существования неявной
функции.
        7) Касательная и нормаль к плоской кривой.
        Пусть плоская кривая задана уравнением f ( x , y ) = 0. Возьмем точ-
ку ( x 0 , y 0 ). Уравнение касательной:
                                                     x0
                                            dy
                                   y - y0 =               ×( x - x 0 )
                                            dx       y0


или так как
                                         x0
                                    dy             F x¢( x 0 , y 0 )
                                              =-                     ,
                                    dx   y0        F y¢ ( x 0 , y 0 )
                F x¢( x 0 , y 0 )
то y - y 0 = -                    ( x - x 0 ).
                F н¢( x 0 , y 0 )
     F x¢( x 0 , y 0 )( x - x 0 ) + F y¢ ( x 0 , y 0 )(y - y 0 ) = 0 — уравнение касательной.
     Уравнение нормали запишем из условия перпендикулярности
прямых
                     F y¢ ( x 0 , y 0 )( x - x 0 ) + F x¢( x 0 , y 0 )(y - y 0 ) = 0
или
                                     x - x0            y - y0
                                                   =                  .
                                  F x¢( x 0 , y 0 ) F y¢ ( x 0 , y 0 )

                                                                                          13

Страницы