Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9) Ча ст ные про из вод ные выс ших по ряд ков.
¢
f x y
x
( , )
и
¢
f x y
y
( , )
на зы ва ют ся ча ст ны ми про из вод ны ми пер во го по -
ряд ка. Ча ст ные про из вод ные по x и по y от функ ций
¢
f x y
x
( , )
и
¢
f x y
y
( , )
,
ес ли они су ще ст ву ют, на зы ва ют ся ча ст ны ми про из вод ны ми вто ро го
по ряд ка.
¢¢
=
=
¢¢
=
¢¢
=
f x y
f x y
x
z
z
x
f x y
f
xx xx
xy
( , )
( , )
( , )
(
2
2
2
2
2
x y
x y
z
z
x y
f x y
f x y
y x
z
xy
yx y
, )
( , )
( , )
=
¢¢
=
¢¢
=
=
¢¢
2
2
x
yy yy
z
y x
f x y
f x y
y
z
z
y
=
¢¢
=
=
¢¢
=
2
2
2
2
2
( , )
( , )
По оп ре де ле нию:
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
f x y
x y y
f x y
x
( , ) ( , )
.
При мер:
f x y x x y( , ) = +
4 2 2
3
;
¢
= +f x xy
x
4 6
3 2
;
¢
=f x
y
6
2
y;
¢¢
= +f x y
xx
12 6
2 2
;
¢¢
=f xy
xy
12
;
¢¢
=f xy
yx
12
;
¢¢
=f x
yy
6
2
.
Ча ст ная про из вод ная по раз лич ным пе ре мен ным на зы ва ет ся сме -
шан ной. Ана ло гич но на хо дят ся ча ст ные про из вод ные высших порядков.
¢¢¢
=f x
xxx
24
;
¢¢¢
=f y
xxy
12
;
¢¢¢
=f y
xyx
12
;
¢¢¢
=f x
xyy
12
;
¢¢¢
=f
yyy
0
и т. д.
Не труд но за ме тить, что:
¢¢
=
¢¢
f f
xy yx
;
¢¢¢
=
¢¢¢
=
¢¢¢
f f f
xxy xyx yxx
;
¢¢¢
=
¢¢¢
=
¢¢¢
f f f
xyy yyx yxy
Тео ре ма 5: Ес ли в не ко то рой ок ре ст но сти точ ки (х
0
,у
0
) функ ция
z f x y= ( , )
име ет сме шан ные ча ст ные про из вод ные
¢¢
f
xy
и
¢¢
f
yx
и эти про из -
вод ные не пре рыв ны в точ ке (х0, у0), то они в этой точ ке рав ны:
¢¢
=
¢¢
f f
xy yx
.
До ка за тель ст во: Рас смот рим вспо мо га тель ное вы ра же ние:
15
     9) Частные производные высших порядков.
      f x¢( x , y ) и f y¢ ( x , y ) называются частными производными первого по-
рядка. Частные производные по x и по y от функций f x¢( x , y ) и f y¢ ( x , y ),
если они существуют, называ ются частными производными второго
порядка.

                                                   ¶ 2 f ( x,y)          ¶2 z
                                f xx¢¢ ( x , y ) =              = z ¢¢
                                                                    xx =
                                                       ¶x 2              ¶x 2
                                                   ¶ 2 f ( x,y)          ¶2 z
                                f xy¢¢ ( x , y ) =              = zxy
                                                                    ¢¢ =
                                                      ¶ x¶ y             ¶ x¶ y
                                                     ¶ 2 f ( x,y)           ¶2 z
                                f yx¢¢ ( x , y ) =                = z¢¢yx =
                                                        ¶y ¶x               ¶y ¶x
                                                     ¶ 2 f ( x,y)          ¶2 z
                                f yy¢¢ ( x , y ) =                = z ¢¢
                                                                      yy =
                                                         ¶y 2              ¶y 2

                                      ¶ 2 f ( x , y ) ¶ æ ¶f ( x , y ) ö
       По определению:                               = ç               ÷.
                                         ¶ x¶ y       ¶y è ¶x ø
       Пример:
       f ( x,y) = x 4 + 3 x 2 y 2 ;
       f x¢ = 4 x 3 + 6 xy 2 ;
       f y¢ = 6 x 2 y;
       f xx¢¢   = 12 x 2 + 6y 2 ;
       f xy¢¢   = 12 xy ;
       f yx¢¢   = 12 xy ;
       f yy¢¢   = 6x 2 .
     Частная производная по различным переменным называется сме-
шанной. Аналогично находятся частные производные высших порядков.
        ¢¢¢ = 24 x ; f xxy
     f xxx                   ¢¢¢ = 12 y ; f xyx
                                             ¢¢¢ = 12 y ; f xyy
                                                             ¢¢¢ = 12 x ; f yyy
                                                                            ¢¢¢ = 0 и т. д.
     Нетрудно заметить, что:
     f xy¢¢ = f yx¢¢ ; f xxy
                          ¢¢¢ = f xyx        ¢¢¢ ; f xyy
                                    ¢¢¢ = f yxx       ¢¢¢ = f yyx
                                                               ¢¢¢ = f yxy
                                                                       ¢¢¢
        Теорема 5: Если в некоторой окрестности точки (х0,у0) функция
z = f ( x , y ) имеет смешанные частные производные f xy¢¢ и f yx¢¢ и эти произ-
водные непрерывны в точке (х0, у0), то они в этой точке равны: f xy¢¢ = f yx¢¢ .
        Доказательство: Рассмотрим вспомогательное выражение:
                                                                                        15

Страницы