Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A f x x y y f x x y f x y y f x y= + + - + - + +( , ) ( , ) ( , ) ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
D D D D
, то
есть
A z
x y
= D D( )
, где
D D
y
z f x y y f x y= + -( , ) ( , )
0 0 0 0
. Оче вид но, что
D D D D
x y y x
z z( ) ( )=
. Обо зна чим
j( ) ( , ) ( , )x f x y y f x y= + -D
0
. То гда:
[ ]
A f x x y y f x x y f x y y f x y= + + - + - + + =( , ) ( , ) ( , ) ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
D D D D
( )
= + -j jx x x
0 0
D ( ).
При ме ним к это му вы ра же нию тео ре му Ла гран жа (по Dx):
A x x x= ¢ +j ( )
0
QD D
,
то есть.
[ ]
A f x x y y f x x y x
x x
=
¢
+ + -
¢
+( , ) ( , )
0
1
0 0
1
0
Q D D Q D D
.
При ме ним еще раз тео ре му Ла гран жа (по Dу):
A f x x y y x y
xy
=
¢¢
+ +( , )
0
1
0 2
Q D Q D D D
Ана ло гич но, ме няя ро ля ми х и у, на хо дим:
A f x x y y x y
yx
=
¢¢
+ +( , )
0 3 0
Q D Q D D D
4
,
от ку да
¢¢
+ + =
¢¢
+ +f x x y y x y f x x y y
xy yx
( , ) ( , )
0
1
0 2 0 3 0 4
Q D Q D D D Q D Q D Dx yD
.
При
Dx ® 0
,
Dy ® 0
, в си лу не пре рыв но сти двух про из вод ных, по -
лу чим:
¢¢
=
¢¢
f f
xy yx
.
След ст вие: Ес ли функ ция
z f x y= ( , )
в не ко то рой об лас ти име ет все
ча ст ные про из вод ные n-го по ряд ка вклю чи тель но и это про из вод ные
не пре рыв ны, то сме шан ные про из вод ные по ряд ка m (m
£
n), от ли чаю -
щие ся лишь по сле до ва тель но стью диф фе рен ци ро ва ний, сов па да ют ме -
ж ду собой.
При мер:
n = 5
;
( ) ( )
f f
xxyxy xyxxy
5 5
=
.
Дей ст ви тель но:
¢¢¢
=
¢ ¢¢
=
¢ ¢¢
=
¢¢¢
f f f f
xxy x xy x yx xyx
( ) ( )
. За тем диф фе рен ци руя
по х, а по том по у
( ) ( )
f f
xxyxy xyxxy
5 5
=
.
Ана ло гич но для трех пе ре мен ных:
f x y z=
3 2
=
=
=
=
f
x
x y z
f
y
x yz
f
z
x y
f
x
x z3 2 6
2 2 3 3 2 2
; ; ; ;
16
        A = f ( x 0 + Dx , y 0 + Dy ) - f ( x 0 + Dx , y 0 ) - f ( x 0 , y 0 + Dy ) + f ( x 0 , y 0 ), то
есть A = D x (D y z), где D y z = f ( x 0 , y 0 + Dy ) - f ( x 0 , y 0 ). Очевидно, что
D x (D y z) = D y (D x z). Обозначим j( x ) = f ( x , y + Dy ) - f ( x , y 0 ). Тогда:
     A = [ f ( x 0 + Dx , y 0 + Dy ) - f ( x 0 + Dx , y 0 ) - f ( x 0 , y 0 + Dy ) + f ( x 0 , y 0 )] =
        = j( x 0 + Dx ) - j( x 0 ).

        Применим к этому выражению теорему Лагранжа (по Dx):
                                       A = j¢ ( x 0 + QDx )Dx ,
то есть.
                 A = [ f x¢( x 0 + Q1 Dx , y 0 + Dy ) - f x¢( x 0 + Q1 Dx , y 0 )] Dx .
        Применим еще раз теорему Лагранжа (по Dу):
                             A = f xy¢¢ ( x 0 + Q1 Dx , y 0 + Q 2 Dy )DxDy
        Аналогично, меняя ролями х и у, находим:
                            A = f yx¢¢ ( x 0 + Q 3 Dx , y 0 + Q 4 Dy )DxDy ,
откуда
        f xy¢¢ ( x 0 + Q1 Dx , y 0 + Q 2 Dy )DxDy = f yx¢¢ ( x 0 + Q 3 Dx , y 0 + Q 4 Dy )DxDy .
     При Dx ® 0, Dy ® 0, в силу непрерывности двух производных, по-
лучим:
                                               f xy¢¢ = f yx¢¢ .
      Следствие: Если функция z = f ( x , y ) в некоторой области имеет все
частные производные n-го порядка включительно и это производные
непрерывны, то смешанные производные порядка m (m£n), отличаю-
щиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают ме-
жду собой.
                        (5)       (5)
      Пример: n = 5; f xxyxy = f xyxxy .
       Действительно: f xxy                                      ¢¢¢ . Затем дифференцируя
                            ¢¢¢ = ( f x¢)¢¢xy = ( f x¢)¢¢yx = f xyx
                      (5)       (5)
по х, а потом по у f xxyxy = f xyxxy .
        Аналогично для трех переменных: f = x 3 y 2 z
        ¶f                ¶f             ¶f          ¶f
           = 3 x 2 y 2 z;    = 2 x 3 yz;    = x3y 2;    = 6 x 2 z;
        ¶x                ¶y             ¶z          ¶x

16

Страницы