Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

а) Не об хо ди мое ус ло вие экс тре му ма:
Тео ре ма 1: Ес ли функ ция
f x y( , )
в точ ке
( , )x y
0 0
име ет экс тре мум,
то в этой точ ке ли бо обе ее ча ст ные про из вод ные пер во го по ряд ка рав -
ны ну лю:
¢
=
¢
=f x y f x y
x y
( , ) ( , )
0 0 0 0
0
, ли бо хо тя бы од на из этих ча ст ных
про из вод ных не су ще ст ву ет.
При мер 1:
f x y x y( , ) = - +1
2 2
(ко нус). В точ ке (0,0):
f ( , )0 0 1=
;
в лю бой дру гой точ ке
f x y( , )< 1
.
Ча ст ные про из вод ные:
¢
=
-
-
f
x
x y
x
2 2
;
¢
=
-
-
f
y
x y
y
2 2
в точ ке (0,0) не су ще ст ву ют.
При мер 2:
f x y x y( , ) = +
2 2
(па ра бо ло ид).
f ( , )0 0 0=
— мак си мум.
¢
=f x
x
2
;
¢
=f y
y
2
;
¢
=
¢
=f f
x y
( , ) ( , )0 0 0 0 0
.
При мер 3:
f x y xy( , ) =
;
¢
=
¢
=f f
x y
( , ) ( , )0 0 0 0 0
— но это не экс тре мум.
Ес ли рав ны ну лю пер вые про из вод ные или они не су ще ст ву ют, то та кие
точ ки на зы ва ют кри ти че ски ми, но не экс тре маль ны ми.
б) Дос та точ ное ус ло вие экс тре му ма.
Тео ре ма 2: Пусть в ок ре ст но стях кри ти че ской точ ки
( , )x y
0 0
функ -
ция
f x y( , )
име ет не пре рыв ные ча ст ные про из вод ные до вто ро го по ряд -
ка. Рас смот рим вы ра же ние:
( )
D x y f x y f x y f x y
xx yy xy
( , ) ( , ) ( , ) ( , )=
¢¢
×
¢¢
-
¢¢
2
.
То гда:
1) ес ли
D x y( , )
0 0
0>
, то в этой точ ке (x
0
,y
0
) функ ция
f x y( , )
име ет
экс тре мум: ес ли
¢¢
<f x y
xx
( , )
0 0
0
— мак си мум, ес ли
¢¢
>f x y
xx
( , )
0 0
0
— ми ни -
мум;
2) ес ли
D x y( , )
0 0
0<
, то функ ция экс тре му ма не име ет;
3) ес ли
D x y( , )
0 0
0=
, экс тре мум в точ ке (x
0
, y
0
) мо жет быть, мо жет и
не быть.
При мер:
f x y xy x y( , ) ( )= - -1
;
¢
= - -f y x y
x
( )1 2
;
¢
= - -f x x y
y
( )1 2
.
Оп ре де лим кри ти че ские точ ки
( )
¢
=
¢
=f f
x y
0
;
y x y
x x y
y
x
x y
x y
( )
( )
;
( )
( )
1 2 0
1 2 0
0
0
1 2 0
1 2 0
- - =
- - =
=
=
- - =
- - =
ì
í
î
Þ
=
=
ì
í
ï
î
ï
x
y
1 3
1 3
18
       а) Необходимое условие экстремума:
      Теорема 1: Если функция f ( x , y ) в точке ( x 0 , y 0 ) имеет экстремум,
то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка рав-
ны нулю: f x¢( x 0 , y 0 ) = f y¢ ( x 0 , y 0 ) = 0, либо хотя бы одна из этих частных
производных не существует.
     Пример 1: f ( x , y ) = 1 - x 2 + y 2 (конус). В точке (0,0): f (0,0) = 1;
в любой другой точке f ( x , y )< 1.
     Частные производные:
              -x                -y
      f x¢ =        ; f y¢ =           в точке (0,0) не существуют.
             x2 -y2           x2 -y2
       Пример 2: f ( x , y ) = x 2 + y 2 (параболоид). f (0,0) = 0 — максимум.

                          f x¢ = 2 x ; f y¢ = 2 y ; f x¢(0,0) = f y¢ (0,0) = 0.
     Пример 3: f ( x , y ) = xy ; f x¢(0,0) = f y¢ (0,0) = 0 — но это не экстремум.
Если равны нулю первые производные или они не существуют, то такие
точки называют критическими, но не экстремальными.
       б) Достаточное условие экстремума.
       Теорема 2: Пусть в окрестностях критической точки ( x 0 , y 0 ) функ-
ция f ( x , y ) имеет непрерывные частные производные до второго поряд-
ка. Рассмотрим выражение:
                                                                                           2
                      D( x , y ) = f xx¢¢ ( x , y ) × f yy¢¢ ( x , y ) - ( f xy¢¢ ( x , y )) .

     Тогда:
     1) если D( x 0 , y 0 ) > 0, то в этой точке (x0,y0) функция f ( x , y ) имеет
экстремум: если f xx¢¢ ( x 0 , y 0 ) < 0 — максимум, если f xx¢¢ ( x 0 , y 0 ) > 0 — мини-
мум;
     2) если D( x 0 , y 0 ) < 0, то функция экстремума не имеет;
     3) если D( x 0 , y 0 ) = 0, экстремум в точке (x0, y0) может быть, может и
не быть.
       Пример: f ( x , y ) = xy (1 - x - y ); f x¢ = y (1 - 2 x - y ); f y¢ = x (1 - x - 2 y ).
       Определим критические точки ( f x¢ = f y¢ = 0);
               ìï y (1 - 2 x - y ) = 0 y = 0 ì(1 - 2 x - y ) = 0    x =1 3
                í                      ;      í                   Þ
                ïî x (1 - x - 2 y ) = 0 x = 0 î(1 - x - 2 y ) = 0   y =1 3

18

Страницы