Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пло щадь
S xy xz yz a= + + =2 2( )
. То есть тре бу ет ся най ти max функ ции
V xyz=
при ус ло вии
xy xz yz a+ + - = 0
.
Со ста вим функ цию:
j l l( , , , ) ( )x y z xyz xy xz yz a= + + + -
.
При рав ня ем к ну лю все ее ча ст ные про из вод ные пер во го порядка:
yz y z
xz x z
xy x y
xy xz yz a
+ + =
+ + =
+ + =
+ + - =
ì
l
l
l
( ) ;
( ) ;
( ) ;
.
0
0
0
0
í
ï
ï
î
ï
ï
Из пер во го и вто ро го урав не ния по лу ча ем
yz
y z
xz
x z+
=
+
, то есть
yz x z xz y z( ) ( )+ = +
;
z x y( )- = 0
;
y x=
.
Ана ло гич но, из третье го урав не ния по лу ча ем:
y z=
.
Под став ля ем в чет вер тое урав не ние:
x y z= =
, то есть
3
2
x a=
;
x
a
y z= = =
3
;
l =
1
2 3
a
. Точ ка
( )
x y z
a a a
0 0 0
3 3 3
, , , ,=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
— яв ля ет ся кри -
ти че ской точ кой экс тре му ма функ ции V. То есть мак си маль ный объ ем
у па рал ле ле пи пе да со сто ро на ми
a
3
и этот объ ем ра вен
V
a a
=
3 3
.
За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты:
1) Вы чис лить ча ст ные про из вод ные функ ций :
а)
Z x xy y= + +
2 2
б)
Z x y=
в)
Z x y x y= - +( ) ( )
г)
Z x y= +exp( )
д)
Z x y= ×ln( )
е)
Z x y x x= +
2 2
exp( ) ln
ж)
Z x y y= ×exp( ) sin
2) Най ти экс тре мум функ ции 2-х пе ре мен ных:
а) Сре ди всех тре уголь ни ков с пе ри мет ром 2p най ти тот, пло щадь
ко то ро го наи боль шая.
б) Сре ди всех впи сан ных в круг ра диу са R тре уголь ни ков най ти
тот, пло щадь ко то ро го наи боль шая.
20
Площадь S = 2( xy + xz + yz) = 2a. То есть требуется найти max функции
V = xyz при условии xy + xz + yz - a = 0.
      Составим функцию: j( x , y , z,l) = xyz + l( xy + xz + yz - a).
      Приравняем к нулю все ее частные производные первого порядка:
                               ì yz + l(y + z) = 0;
                               ï
                               ï xz + l( x + z) = 0;
                               í
                               ï xy + l( x + y ) = 0;
                               ïî xy + xz + yz - a = 0.

                                                            yz   xz
      Из первого и второго уравнения получаем                  =    , то есть
                                                           y+z x+z
yz( x + z) = xz(y + z); z( x - y ) = 0; y = x .
        Аналогично, из третьего уравнения получаем: y = z.
        Подставляем в четвертое уравнение: x = y = z, то есть 3 x 2 = a;
       a               1 a                                æ a a aö
x=       = y = z; l =        . Точка ( x 0 , y 0 , z0 ) = ç , ,   ÷ — является кри-
       3               2 3                                ç 3 3 3÷
                                                          è       ø
тической точкой экстремума функции V. То есть максимальный объем
                                              a                         a a
у параллелепипеда со сторонами                   и этот объем равен V =     .
                                              3                         3 3

      Задания для самостоятельной работы:

      1) Вычислить частные производные функций :
      а) Z = x 2 + xy + y 2
      б) Z = x y
      в) Z = ( x - y ) ( x + y )
      г) Z = exp( x + y )
      д) Z = ln( x × y )
      е) Z = x 2 y + exp( x 2 ) ln x
      ж) Z = exp( x × y ) sin y

      2) Найти экстремум функции 2-х переменных:
      а) Среди всех треугольников с периметром 2p найти тот, площадь
которого наибольшая.
      б) Среди всех вписанных в круг радиуса R треугольников найти
тот, площадь которого наибольшая.
20

Страницы