Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.3.1. Не оп ре де лен ный ин те грал
1) Пер во об раз ная функ ция.
Ес ли за да ча диф фе рен ци аль но го ис чис ле ния — оты ска ние про из -
вод ной от за дан ной функ ции, то об рат ная за да ча — вос ста нов ле ние
функ ции по за дан ной про из вод ной — за да ча ин те граль но го ис чис ле -
ния.
Функ ция F(x) на зы ва ет ся пер во об раз ной для функ ции f(x), ес ли
F x f x¢ =( ) ( )
.
При ме ры:
а)
F x x( ) sin=
— пер во об раз ная для функ ции
f x x( ) cos=
, так как
(sin ) cosx x
¢
=
.
б) F(x)=ln x — пер во об раз ная для функ ции
f x x( ) =1
.
Оче вид но, что ес ли F(x) — пер во об раз ная для f(x), то функ ция
F x c( )+
так же бу дет пер во об раз ной (
c =const
).
Дей ст ви тель но: ес ли F(x) — пер во об раз ная, то есть
F x f x¢ =( ) ( )
, то
[ ( ) ] ( ) ( )F x c F x f x+
¢
= ¢ =
.
При мер:
f x x( ) = 3
2
; для этой функ ции пер во об раз ны ми бу дут:
F x x( ) =
3
j( )x x= -
3
1 3
y ( )x x= +
3
2
и т.д.
Лем ма: Функ ция, про из вод ная ко то рой то ж де ст вен но рав на ну -
лю, по сто ян на.
Тео ре ма 1: Ес ли F(x) — пер во об раз ная для f(x), то лю бая дру гая
пер во об раз ная мо жет быть за пи са на в ви де
F x c( )+
.
До ка за тель ст во: Пусть
j( )x
— лю бая пер во об раз ная для f(x):
¢
=j ( ) ( )x f x
.
То гда:
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j jx F x x F x f x f x-
¢
=
¢
-
¢
= - = 0
, зна чит функ ция
j( ) ( )x F x-
— по сто ян на:
j( ) ( )x F x c- =
. От сю да:
j( ) ( )x F x c= +
.
Вы ра же ние
F x c( )+
на зы ва ет ся не оп ре де лен ным ин те гра лом от
функ ции
f x( )
и обо зна ча ет ся сим во лом:
f x dx F x c( ) ( )= +
ò
. Чи та ет ся
«ин те грал эф от икс по дэ икс».
f x( )
на зы ва ет ся по дын те граль ной функ ци ей;
f x dx( )
на зы ва ет ся по дын те граль ным вы ра же ни ем;
x — пе ре мен ная ин тег ри ро ва ния;
21
       2.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

       2.3.1. Неопределенный интеграл

          1) Первообразная функция.
          Если задача дифференциального исчисления — отыскание произ-
водной от заданной функции, то обратная задача — восстановление
функции по заданной производной — задача интегрального исчисле-
ния.
          Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если
F ¢ ( x ) = f ( x ).
          Примеры:
          а) F ( x ) = sin x — первообразная для функции f ( x ) = cos x , так как
(sin x )¢ = cos x .
          б) F(x)=ln x — первообразная для функции f ( x ) =1 x .
          Очевидно, что если F(x) — первообразная для f(x), то функция
F ( x ) + c также будет первообразной (c = const).
          Действительно: если F(x) — первообразная, то есть F ¢ ( x ) = f ( x ), то
[F ( x ) + c]¢ = F ¢ ( x ) = f ( x ).
          Пример: f ( x ) = 3 x 2 ; для этой функции первообразными будут:
          F ( x) = x 3
          j( x ) = x 3 -1 3
         y( x ) = x 3 + 2 и т.д.
         Лемма: Функция, производная которой тождественно равна ну-
лю, постоянна.
         Теорема 1: Если F(x) — первообразная для f(x), то любая другая
первообразная может быть записана в виде F ( x ) + c.
         Доказательство: Пусть j( x ) — любая первообразная для f(x):
j ( x) = f ( x) .
 ¢
         Тогда: [j( x ) - F ( x )]¢ = j¢( x ) - F ¢( x ) = f ( x ) - f ( x ) = 0, значит функция
j( x ) - F ( x ) — постоянна: j( x ) - F ( x ) = c. Отсюда: j( x ) = F ( x ) + c.
         Выражение F ( x ) + c называется неопределенным интегралом от
функции f ( x ) и обозначается символом: ò f ( x )dx = F ( x ) + c. Читается
«интеграл эф от икс по дэ икс».
      f ( x ) называется подынтегральной функцией;
      f ( x )dx называется подынтегральным выражением;
     x — переменная интегрирования;
                                                                                             21

Страницы