Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

сим вол
ò
— знак ин те гра ла.
При ме ры: а)
1
x
dx x c
ò
= +ln
;
б)
3
2 3
x dx x c
ò
= +
.
Оты ска ние пер во об раз ной, или оты ска ние не оп ре де лен но го ин -
те гра ла функ ции
f x( )
на зы ва ет ся ин тег ри ро ва ни ем этой функ ции. Это
опе ра ция об рат ная диф фе рен ци ро ва нию. Про вер ка ин тег ри ро ва ния
осу ще ст в ля ет ся дифференцированием результата.
При мер:
e dx e c
x x- -
ò
= +
2 2
1 2( )
;
(( ) )- +
¢
=
- -
1 2
2 2
e c e
x x
.
2) Свой ст ва не оп ре де лен но го ин те гра ла.
а) про из вод ная не оп ре де лен но го ин те гра ла рав на по дын те граль -
ной функ ции:
[ ( ) ] ( )f x dx f x
ò
¢
=
;
б) диф фе рен ци ал не оп ре де лен но го ин те гра ла ра вен по дын те -
граль но му вы ра же нию:
d f x dx f x dx( ( ) ) ( )
ò
=
;
в) не оп ре де лен ный ин те грал от про из вод ной функ ции ра вен са -
мой функ ции плюс про из воль ная по сто ян ная:
F x dx F x c( ) ( )
¢
= +
ò
;
г) не оп ре де лен ный ин те грал от диф фе рен циа ла функ ции ра вен
диф фе рен ци руе мой функ ции плюс про из воль ная по сто ян ная:
d F x F x c
ò
= +( ) ( )
;
д) по сто ян ный мно жи тель мож но вы но сить за знак ин те гра ла:
c f x dx c f x dx
ò ò
=( ) ( )
;
е) не оп ре де лен ный ин те грал от сум мы (раз но сти) двух функ ций
ра вен сум ме (раз но сти) ин те гра лов от этих функ ций:
[ ( ) ( )] ( ) ( ) .f x x dx f x dx x dx± = ±
ò òò
j j
3) Таб ли ца ос нов ных ин те гра лов.
x dx
x
a
c
a
a
ò
=
+
+
+1
1
,
a ¹ -1
dx
x
x c= +
ò
ln
e dx e c
x x
= +
ò
22
      символ ò — знак интеграла.
                    1
      Примеры: а) ò dx = ln x + c;
                    x
               б) ò 3 x 2 dx = x 3 + c.
      Отыскание первообразной, или отыскание неопределенного ин-
теграла функции f ( x ) называется интегрированием этой функции. Это
операция обратная дифференцированию. Проверка интегрирования
осуществляется дифференцированием результата.
      Пример: ò e -2 x dx = (1 2)e -2 x + c; ((-1 2)e -2 x + c)¢ = e -2 x .

     2) Свойства неопределенного интеграла.
     а) производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-
ной функции: [ò f ( x )dx ]¢ = f ( x );
     б) дифференциал неопределенного интеграла равен подынте-
гральному выражению: d(ò f ( x )dx ) = f ( x )dx ;
     в) неопределенный интеграл от производной функции равен са-
мой функции плюс произвольная постоянная: ò F ( x )¢dx = F ( x ) + c;
        г) неопределенный интеграл от дифференциала функции равен
диф фе рен ци руе мой функ ции плюс про из воль ная по сто ян ная:
ò dF ( x) = F ( x) + c;
          д) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
ò c f ( x)dx = c ò f ( x)dx;
         е) неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций
ра вен сум ме (раз но сти) ин те гра лов от этих функ ций:
ò[ f ( x) ± j( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò j( x)dx.
      3) Таблица основных интегралов.
           a      x a +1
      ò x    dx =        + c, a ¹ -1
                  a +1
        dx
      ò x = ln x + c
          x        x
      ò e dx = e + c
22

Страницы