Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a dx
a
a
c
x
x
ò
= +
ln
,
a ³ 0
cos sinxdx x c= +
ò
sin cosxdx x c= - +
ò
sec xdx x c= +
ò
tg
cosec ctgxdx x c= - +
ò
dx
x a
a
x
a
c
2 2
1
+
= +
ò
arctg
dx
x a
a
x a
x a
c
2 2
1
2
-
=
-
+
+
ò
ln
( )
dx
x a
x x a c
2 2
2 2
+
= + + +
ò
ln
tg xdx x c= +
ò
ln cos
ctg xdx x c= +
ò
ln sin
sec ln secxdx x x c= + +
ò
tg
cosec cosec ctgxdx x x c= + +
ò
ln
Все фор му лы про ве ря ют ся диф фе рен ци ро ва ни ем.
При мер:
dx
x a
a
x
a
c
2 2
1
+
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
ò
arctg
1 1 1
1
1 1
2 2 2 2
a
x
a
c
a
x a
a
a x
arctg
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
é
ë
ê
ù
û
ú
¢
= ×
+
× =
+( )
4) Не ко то рые прие мы ин тег ри ро ва ния.
a) ме тод под ста нов ки:
Пусть
F x( )
пер во об раз ная для
f x( )
:
¢
=F x f x( ) ( )
.
Пусть
x t= j( )
, то гда
F t[ ( )]j
бу дет пер во об раз ной для функ ции
f t[ ( )]j
. Дей ст ви тель но:
[ ( ( ))] [ ( )] ( ) [ ( )] ( )F t F t t f t
x
j j j j j t
¢
=
¢ ¢
=
¢
. От сю да сле -
ду ет:
f t t dt F t c F x c f x dx[ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( )j j j¢ = = + = + =
òò
Эта фор му ла на зы ва ет ся фор му лой за ме ны пе ре мен ной:
f x dx f t t dt( ) [ ( )] ( )= ¢
òò
j j
23
          x      ax
       ò a dx =      + c, a ³ 0
                ln a
       ò cos xdx = sin x + c
       ò sin xdx = -cos x + c
       ò sec xdx = tg x + c
       ò cosec x dx = -ctg x + c
            dx       1       x
       òx   2
                   = arctg + c
             + a2 a         a
            dx        1    x -a
       ò x 2 - a 2 = 2a ln x + a + c
             dx
                        (
       ò x 2 + a 2 = ln x + x + a
                                   2 2
                                         ) +c
       ò tg x dx = ln cos x + c
       ò ctg x dx = ln sin x + c
       ò sec xdx = ln sec x + tg x + c
       ò cosec x dx = ln cosec x + ctg x + c
       Все формулы проверяются дифференцированием.
                     dx      1      æxö
       Пример: ò 2       2
                            = arctg ç ÷ + c
                   x +a      a      èaø
                                  ¢
                 é1      æxö ù 1            1     1    1
                 ê arctg ç ÷ + c ú = ×       2 2
                                                 × = 2
                 ëa        a
                         è ø û       a 1+ (x a )  a a + x2

         4) Некоторые приемы интегрирования.
         a) метод подстановки:
         Пусть F ( x ) первообразная для f ( x ): F ¢( x ) = f ( x ).
         Пусть x = j(t ), тогда F [j(t )] будет первообразной для функции
f [j(t )]. Действительно: [F (j(t ))]¢ = F x¢[j(t )]j¢(t ) = f [j(t )]j¢(t). Отсюда сле-
дует: ò f [j(t )]j¢ (t )dt == F [j(t )] + c = F ( x ) + c = ò f ( x )dx
       Эта формула называется формулой замены переменной:
       ò f ( x)dx = ò f [j(t )]j¢(t )dt
                                                                                     23

Страницы