Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При ме ры:
а)
( )
( ) ;
( ) ;
x x e dx
x x u e dx dv
x dx du e v
x
x
x
2
2
2
2
2 1
- =
- = =
- = - =
½
-
-
-
½
½
½
½
½
=
ò
= - - + - =
- = =
= =
- -
-
-
ò
( ) ( )
;
;
x x e x e dx
x u e dx dv
dx du e
x x
x
x
2
2 2 1
1
v
½
½
½
½
½
½
=
= - - - - + = - - -
- - - -
ò
( ) ( ) ( )x x e x e e dx x x e
x x x x2 2
2 2 1 2 2
- - - + = - +
- - -
2 1 2
2
( )x e e c x e c
x x x
б)
e xdx
e u xdx dv
e dx du x v
x
x
x
a
a
a
b
b
a b b
sin
; sin
;( )cos
=
= =
= - =
½
1
½
½
½
½
½
= - +
ò
1
b
b
a
e x
x
cos
+ + =
= =
=
a
b
b
a
b
b
b
a
a a
a
a
e x e xdx
e u xdx dv
e dx du
x x
x
x
cos cos
;cos
;( )sin1 b bx v=
½
½
½
½
½
½
=
ò
= - + -
ò
1
2
2
2
b
b
a
b
b
a
b
b
a a a
e x e x e xdx
x x x
cos sin sin
Со став ля ем урав не ние от но си тель но ин те гра ла:
( ) sin
cos sin
1
2
2 2
+ =
- +
ò
a
b
b
b b a b
b
a a
e xdx
x x
e
x x
,
от ку да
e xdx
x x
e c
x xa a
b
a b b b
a b
sin
sin cos
=
-
+
+
ò
2 2
5) Ин тег ри ро ва ние эле мен тар ных дро бей.
а)
dx
ax b
t ax b
dt a d x dx
dt
a
a
dt
t a
t c
+
=
= +
= =
½
½
½
½
½
½
½
½
= = + =
;
ln
1 1 1
a
ax b cln + +
òò
б)
dx
ax b
ax b t
dx
dt
a
a
dt
t
a m t
m m
m
( )
( )
+
=
+ =
=
½
½
½
½
½
½
½
½
= = -
-
-
1 1
1
1
+
òò
c
в)
dx
ax bx c
ax bx c
a
a x abx b
ac b
a
2
2 2 2 2
2
1
4
4 4
4
1
4
+ +
=
+ + = + + +
+ - =
[
] [( ) ( )]2 4
2 2
ax b ac b+ + -
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
=
ò
25
     Примеры:
                                 ½( x 2 - 2 x ) = u; e - x dx = dv½
     а) ò ( x 2 - 2 x )e - x dx =½                          -x
                                                                  ½=
                                 ½2( x -1)dx = du; - e = v½
                                                  ½x -1 = u; e - x dx = dv½
     = -( x 2 - 2 x )e - x + 2 ò ( x -1)e - x dx =½             -x
                                                                            ½=
                                                  ½dx = du; e = v ½
     = -( x 2 - 2 x )e - x - 2( x -1)e - x + 2 ò e - x dx = -( x 2 - 2 x )e - x -
     -2( x -1)e - x - 2 e - x + c = - x 2 e - x + c
                            ½e ax = u; sin bxdx = dv            ½    1
     б) ò e ax sin bxdx =½ ax                                   ½= - e ax cos bx +
                            ½ae dx = du; (-1 b)cos bx = v½ b
      a                 a                       ½e ax = u; cos bxdx = dv     ½
     + e ax cos bx + ò e ax cos bxdx =½ ax                                   ½=
       b                b                       ½ae dx = du; (1 b)sin bx = v½
        1             a               a2
     = - e ax cos bx + 2 e ax sin bx - 2 ò e ax sin bxdx
        b             b               b

     Составляем уравнение относительно интеграла:
                        a2                   -bcos bx + a sin bx ax
                 (1 +      ) e ax sin bxdx =
                          2 ò
                                                                e ,
                        b                           b2
откуда
                             ax                a sin bx - bcos bx ax
                        òe        sin bxdx =
                                                    a 2 +b2
                                                                 e +c

     5) Интегрирование элементарных дробей.
                   ½t = ax + b          ½
            dx                              1 dt 1             1
     а) ò        =½½                 dt ½ = ò = ln t + c = ln ax + b + c
                                        ½
          ax + b dt = adx ; dx =            a t a              a
                   ½                  a½
                       ½ax + b = t½
             dx                        1 dt           1
     б) ò          m
                      =½
                       ½     dt ½ ½ = ò m =-                  +c
          (ax + b)      dx =           a t      a(m -1)t m -1
                       ½      a ½
                         ½ax 2 + bx + c = 1 [4a 2 x 2 + 4abx + b 2 + ½
               dx        ½                   4a                      ½
     в) ò 2             =½                                           ½=
          ax + bx + c ½              2     1          2            2 ½
                           +4ac - b ] = [(2ax + b) + (4ac - b )]
                         ½                 4a                        ½
                                                                                     25

Страницы