ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
= - - + + = - - + +
-
+3 16 13
4
3 7 6 13
3
4
2 2
u
u
c x x
x
carcsin arcsin
в)
dx
ax bx c
du
u s
I
s
s u u
u s
du
s
du
n n n
( ) ( ) ( )
(
2 2
2 2
2
1 1
+ +
-
+
= =
+ +
+
=
u s
n2 1
+
-
-
òòòò
)
-
+
= - =
+
=
ò
1
2
2
1
2 2
2
2
s
u du
u s
I I I
u du
u s
n n
( )
;
( )
= =
+
= = =
+
=
-
dv
udu
u s
u u du du v
udu
u s
n
n n
1
2
1 1 1
2
1
2 1
( )
; ; ;
( )
( )(u s
n2 1
+
½
½
½
½
½
½
=
-
ò
)
=
- +
+
-
+
- -
ò
u
n u s
n
du
u s
n n
( )( ) ( )2 2
1
2 2
2 1 2 1
Та ким об ра зом:
du
u s
s
du
u s
u
s n u s
s n
n
n n
( )
( ) ( )( )
( )
2
2 1 2 1
1
2 2
1
2 2
+
=
+
+
- +
-
-
- -
du
u s
n
( )
2 1
+
-
òòò
или:
du
u s
u
s n u s
n
s n
du
u s
n
n n
( )
( )( )
( )
( )
2
2 1 2 1
2 2
2 3
2 2
+
=
- +
+
-
-
+
- -
òò
то есть мы по ни зи ли сте пень в зна ме на те ле на 1.
При ме няя эту фор му лу
( )n -1
раз, мы при дем к таб лич но му ин те -
гра лу
du
u s
2
+
ò
.
Дан ная фор му ла на зы ва ет ся ре ку рент ной.
При мер:
а)
dx
x
x
x
dx
x
x
x( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 2 2 2 2
5 5 4 5
3
5 4
5 20 5+
=
× +
+
×
+
=
+
+
òò
+ ×
× +
+
×
+
=
+
+
+
+
3
20
5 2 5
1
5 2
5 20 5
3
200 5
2 2 2 2 2
x
x
dx
x
x
x
x
x( ) ( ) ( )
ò
+
+
3
200 5 5
arctg
x
c
.
б)
Mx N
ax bx c
dx a
Mx N dx
ax b ac b
n
n
+
+ +
=
+
+ + -( )
( )
( )
[( ) ( ) ]
2 2 2
4
2 4
n
=
òò
=
= + =
=
-
= -
½
½
½
½
½
½
½
½
=
u ax b du adx
x
u b
a
s ac b
a
a
M
n
2 2
2
4
4
2
2
;
;
( ) (u b a N
u s
du
n
- +
+
=
ò
) ( )
( )
2
2
27
u x -3
= -3 16 - u 2 +13 arcsin + c = -3 7 - x 2 + 6 x +13arcsin +c
4 4
dx du 1 s +u 2 +u 2 1 du
в)ò 2 n
- ò 2 n
= I = ò 2 n
du = ò 2 -
(ax + bx + c) (u + s) s (u + s) s (u + s) n -1
1 u 2 du u 2 du
- ò 2 = I 1
- I 2 ; I 2 = =
s (u + s) n (u 2 + s) n
½ udu udu 1 ½
=½dv1 = 2 n
; u1 = u; du1 = du; v1 = ò 2 n
= 2 n -1
½=
½ (u + s) (u + s) 2(n -1)(u + s) ½
u 1 du
= 2 n -1
+ ò
(2 n - 2)(u + s) 2 n - 2 (u + s) n -1
2
Таким образом:
du 1 du u 1 du
ò (u 2 + s) n = s ò (u 2 + s) n -1 + s(2 n - 2)(u 2 + s) n -1 - s(2 n - 2) ò (u 2 + s) n -1
или:
du u 2n -3 du
ò (u = +
+ s) n s(2 n - 2)(u 2 + s) n -1 s(2 n - 2) ò (u 2 + s) n -1
2
то есть мы понизили степень в знаменателе на 1.
Применяя эту формулу (n -1) раз, мы придем к табличному инте-
du
гралу ò 2 .
u +s
Данная формула называется рекурентной.
Пример:
dx x 3 dx x
а) ò 2 3
= 2 2
+ ò 2 2
= +
( x + 5) 5 × 4( x + 5) 5 × 4 ( x + 5) 20( x + 5) 2
2
3 x 1 dx x 3x
+ × + ò = + +
20 5 × 2( x + 5) 5 × 2 x + 5 20( x + 5) 200( x 2 + 5)
2 2 2 2
3 x
+ arctg .
200 5 5 +c
Mx + N (Mx + N )dx
б)ò 2 n
dx = (4a) n ò =
(ax + bx + c) [(2ax + b) 2 + (4ac - b) 2 ]n
½u = 2ax + b; du = 2adx ½
(4a) n M (u - b) (2a) + N
=½ ½ = du =
; s = 4ac - b 2½ 2a ò
½x = u - b
(u 2 + s) n
½ 2a ½
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
