Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
+
+
+
+
=
= +
ò
( )
( ) ( )
,
4
2 2
2
2
2 2
2
a
a
M
a
udu
u s
aN Mb
a
du
u s
t u s
n
n n
а второй
интеграл берется по
рекуррентной формуле
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
ò
При мер:
I
x
x x
dx
x
x
dx
u x
du dx
x u
=
+
- +
=
+
- +
=
= -
=
=
3 5
4 7
3 5
2 3
2
2 2 2 2
( ) [( ) ]
+
½
½
½
½
½
½
½
½
=
+ +
+
=
ò òò
2
3 6 5
3
2 2
u
u
du
( )
=
+
+
+
=
= +
=
½
½
½
½
½
½
=3
3
11
3
3
2
3
2
2 2 2 2
2
udu
u
du
u
t u
dt udu
dt
t( ) ( )
2 2 2
11
3 2 3
1
3 2
3
+
× +
+
×
+
=
òòòò
u
u
du
u( )
= - +
+
+ + = -
- -
+
-
3
2
11
6 3
11
6 3 3
3
2 4 7
11 2
2 2
t
u
u
u
c
x x
x
( ) ( )
(
arctg
)
( )6 4 7
2
x x- +
+
+
-
+
11
6 3
2
3
arctg
x
c
.
6) Ин тег ри ро ва ние три го но мет ри че ских функ ций.
Вспом ним, что:
sin
sin( )co s( )
cos ( )sin ( )
( )
(
x
x x
x x
x
= =
+
2 2 2
2 2
2 2
1
2 2 2
tg
tg x 2)
Пра ви ло 1: Ин те грал ви да
R x x dx(sin ,cos )
ò
под ста нов кой
t x= tg( )2
при во дит ся к ин те гра лу от ра цио наль ной функ ции t, ко то рый
все гда вы ра жа ет ся че рез эле мен тар ные функ ции.
До ка за тель ст во: Пусть
t x= tg( )2
, то гда:
sin ; cos ; ;x
t
t
x
t
t
x t dx
dt
t
=
+
=
-
+
= =
+
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2 2
arctg
Под ста вим все это под ин те грал:
R x x dx R
t
t
t
t t
dt r t dt(sin ,cos ) ( )=
+
-
+ +
=
òòò
2
1
1
1
2
1
2
2
2 2
где r(t) — ра цио наль ная функ ция t.
Под ста нов ка
t x= tg( )2
на зы ва ет ся уни вер саль ной под ста нов кой.
При мер:
dx
x x
t x
dx dt t
x t
9 8
2
2 1
2
2
+ +
=
=
= +
=
½
½
½
½
½
½
cos sin
( )
( )
tg
arctg
½
½
½
½
=
ò
28
       n
                                                    ½t = u 2 + s, а второй      ½
  (4a) M      udu       2aN + Mb           du
=        ò    2     n
                      +              ò   2    n
                                                 = интеграл берется по ½
                                                    ½
   2a 2a (u + s)             2a        (u + s) ½                                ½
                                                    ½рекуррентной формуле½
      Пример:
                                                         ½u = x - 2½
                3x +5                   3x +5                           3u + 6 + 5
      I =ò 2              2
                            dx = ò          2     2
                                                    dx =½du = dx ½ = ò 2           du =
           ( x - 4 x + 7)          [( x - 2) + 3]        ½         ½ (u + 3) 2
                                                         ½x = u + 2½
     udu               du      ½t = u 2 + 3½ 3 dt               u           1   du
= 3ò 2     2
             + 11ò   2     2
                              =½           ½ = ò +11
                                                   2             2
                                                                        +     ò 2
                                                                                   =
   (u + 3)         (u + 3) ½dt = 2udu½ 2 t                3 × 2(u + 3) 3 × 2 u + 3
  3      11u        11         u                 3               11( x - 2)
=- +      2
                 +      arctg     +c = -                   +                  +
  2t 6(u + 3) 6 3               3          2( x - 4 x - 7) 6( x 2 - 4 x + 7)
                                               2


        11        x -2
     +      arctg       + c.
       6 3           3
       6) Интегрирование тригонометрических функций.
                               2 sin( x 2)cos( x 2)   2 tg ( x 2)
       Вспомним, что: sin x =                       =
                              cos ( x 2)sin ( x 2) 1 + tg 2 ( x 2)
                                   2         2


       Правило 1: Ин те грал ви да ò R(sin x ,cos x )dx подстановкой
t = tg( x 2) приводится к интегралу от рациональной функции t, который
всегда выражается через элементарные функции.
        Доказательство: Пусть t = tg( x 2), тогда:
                       2t             1-t 2                        2dt
            sin x =       2
                            ; cos x =     2
                                            ; x = 2arctg t ; dx =
                      1+t             1+t                         1+t 2
       Подставим все это под интеграл:
                                           2t 1 - t 2 2
               ò R(sin x,cos x)dx = ò R   1+t 2 1+t 2 1+t 2
                                                            dt = ò r (t )dt

где r(t) — рациональная функция t.
       Подстановка t = tg( x 2) называется универсальной подстановкой.
                                    ½t = tg ( x 2)    ½
                        dx          ½               2 ½
       Пример: ò                   = dx = 2dt (1 + t ) =
                 9 + 8cos x + sin x ½                 ½
                                    ½x = 2arctg t     ½
28

Страницы