Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
+ +
-
+
+
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
+ +
2
1 9
8 1
1
2
1
2
2 17
2
2
2 2
2
dt
t
t
t
t
t
dt
t t
( )
( )
=
+ +
=
òòò
2
1 16
2
dt
t( )
=
+
+ =
+
+
1
2
1
4
1
2
2 1
4
arctg arctg
tg
t
c
x
c
( )
Од на ко эта под ста нов ка час то при во дит к гро мозд ким вы клад кам.
Пра ви ло 2: Ес ли функ ция
R x x(sin ,cos )
не чет на от но си тель но cosx,
то ин те грал
R x x dx
R x x
x
xdx(sin , cos )
(sin ,cos )
cos
cos= =
òò
Так как
R x x(sin ,cos )
— не чет на от но си тель но
c o s x
, то
R x x
x
(sin ,cos )
cos
— чет но от но си тель но
cos x
и мо жет со дер жать
cos x
лишь
в чет ных сте пе нях. При ме ним под ста нов ку
t x= sin
,
dt xdx=cos
,
R x x dx r x xdx r t dt(sin ,cos ) (sin )cos ( )= =
ò òò
, где
r t( )
— ра цио наль ная
функ ция t.
Пра ви ло 3: Ес ли
R x x(sin ,cos )
не чет на от но си тель но
sin x
, то
t x= cos
ин те грал
R x x dx(sin ,cos )
ò
при во дит ся к ин те гра лу от ра цио -
наль ной функ ции.
До ка зы ва ет ся так же, как и пра ви ло 2.
При ме ры:
а)
cos
sin
sin
cos
( sin )
si
3
2
2
1
2
x
x
dx
t x
dt xdx
x
+
=
=
=
½
½
½
½
½
½
=
-
+
ò
n
cos
x
xdx
t
t
dt=
-
+
=
òò
1
2
2
= - + -
+
= - + - + +
ò
( ) ln sint
t
dt
t
t x c2
3
2 2
2 3 2
2
.
б)
cos sin
cos
sin
cos ( cos ) sin
2 5 2 2 2
1x xdx
t x
dt xdx
x x× =
=
= -
= -
ò
xdx =
ò
= - - = - - + = - + - + =
òò
t t dt t t t dt t t t c
2 2 2 2 2 4 3 5 7
1 1 2
1
3
2
5
1
7
( ) ( )
= - + - +
1
3
2
5
1
7
3 5 7
cos cos cosx x x c
.
в)
| |
cos sin ; cos
7
xdx t x dt xdx= = = =
ò
= - = - = - + - =
ò ò ò
( sin ) cos ( ) ( )1 1 1 3 3
2 3 2 3 2 4 6
x xdx t dt t t t dt
29
                          2dt                             dt               dt
      =ò                                       = 2ò    2
                                                                 = 2ò              =
                    æ 8(1 - t ) 2
                                      2t ö            t + 2t +17      (t +1) 2 +16
         (1 + t 2 )çç 9 +         +          ÷
                    è       1+t 2
                                    1 + t 2 ÷ø
       1          t +1        1       tg ( x 2) +1
      = arctg            + c = arctg               +c
       2             4        2              4
      Однако эта подстановка часто приводит к громоздким выкладкам.

       Правило 2: Если функция R(sin x ,cos x ) нечетна относительно cosx,
                                     R(sin x ,cos x )
то интеграл ò R(sin x ,cos x )dx = ò                   = cos xdx
                                          cos x
       Так как R(sin x ,cos x ) — не чет на от но си тель но cos x, то
R(sin x ,cos x )
                 — четно относительно cos x и может содержать cos x лишь
     cos x
в четных степенях. Применим подстановку t = sin x , dt = cos xdx ,
ò R(sin x,cos x)dx =ò r (sin x)cos xdx = ò r (t )dt , где r (t ) — рациональная
функция t.

       Правило 3: Если R(sin x ,cos x ) нечетна относительно sin x, то
t = cos x интеграл ò R(sin x ,cos x )dx приводится к интегралу от рацио-
нальной функции.
     Доказывается так же, как и правило 2.
      Примеры:
                                                              2
            cos 3 x           ½t = sin x ½    ½ = (1 - sin x ) cos xdx = 1 - t dt =
                                                                                      2
      а) ò              dx =½                      ò 2 + sin x                ò 2 +t
           2 + sin x          ½dt = cos xdx½
                         3            t2
      = ò (-t + 2 -          )dt = - + 2t - 3 ln 2 + sin x + c.
                      2 +t             2
                                      t  = cos x
      б) ò cos 2 x × sin 5 xdx =                          = cos 2 x (1 - cos 2 x ) 2 sin xdx =
                                      dt = - sin xdx ò
                                                                1     2       1
      = -ò t 2 (1 - t 2 ) 2 dt = -ò t 2 (1 - 2t 2 + t 4 )dt = - t 3 + t 5 - t 7 + c =
                                                                3     5       7
          1               2             1
      = - cos 3 x + cos 5 x - cos 7 x + c.
          3               5             7
      в) ò cos 7 xdx = |t = sin x ; dt = cos xdx| =
      = ò (1 - sin 2 x ) 3 cos xdx =ò (1 - t 2 ) 3 dt =ò (1 - 3t 2 + 3t 4 - t 6 )dt =

                                                                                                 29

Страницы