Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ctg ctg cosec
3 2 2
1xdx x x dx= - =
òò
( )
= × - = = = =
ò ò
ctg cosec ctg ctg cosecx xdx xdx t x dt xdx
2
;
= - - = - +
òò
tdt xdx x x cctg ctg
1
2
2
ln sin
.
sec tg sec tg sec
8 2 3 2 2
1xdx x xdx t x dt xdx= + × = = = =
òò
( ) ;
= + = + + + =
òò
( ) ( )1 1 3 3
2 3 2 4 6
t dt t t t dt
= + + + +tg tg tg tgx x x x c
3 5 7
3
5
1
7
.
Пра ви ло 6: Ес ли встре ча ют ся про из ве де ния ти па
sin cos
m n
x x×
, где
m и n — чет ные не от ри ца тель ные чис ла, то це ле со об раз но ис поль зо вать
со от но ше ния:
cos ( cos )
2
1 2 1 2u u= +
;
sin ( cos )
2
1 2 1 2u u= -
;
sin cos si n ( cos ).
2 2 2
1 4 2 1 8 1 4u u u u× = = -
При ме ры:
sin ( cos ) sin
2
7
1
2
1 14
1
2
1
28
14xdx x dx x c= - = - +
òò
.
cos ( cos ) ( cos cos )
4 2 2
5
1
4
1 10
1
4
1 2 10 10xdx x dx x x dx
ò
= + = + + =
òò
ò
= + + + =
= + +
1
4
1 2 10
1
2
1
2
20
3
8
1
20
10
1
16
( cos cos )
sin
x x dx
x x
0
20sin x c+
sin cos ( cos ) sin
2 2
3 3
1
8
1 12
1
8
1
96
12x xdx x dx x x c× = - = - +
òò
.
Пра ви ло 7: Для про из ве де ния мож но ис поль зо вать со от но ше ния:
2
2
sin cos sin ( ) sin ( )
cos cos cos(
a b a b a b
a b a
x x x x
x x
× = + + -
× = + + -
× = - - +
b a b
a b a b a b
) cos( )
sin sin cos( ) cos( )
x x
x x x x2
Не труд но за ме тить, что в от ли чие от диф фе рен ци аль но го ис чис -
ле ния, ко то рое кон ст рук тив но (есть оп ре де лен ные пра ви ла), ин те -
граль ное ис чис ле ние — не кон ст рук тив но (вме сто пра вил вво дит ся ряд
31
              3                 2           2
      ò ctg xdx = ò ctg x(cosec x -1)dx =
                            2
      = ò ctg x × cosec xdx - ò ctg xdx = t = ctg x ; dt = cosec xdx =
                              1             2
      = -ò tdt - ò ctg xdx = ctg x - ln sin x + c.
                              2
              8                     2   3       2                      2
      ò sec xdx = ò (1 + tg x) × sec xdx = t = tg x; dt = sec xdx =
                   2 3                  2       4   6
      = ò (1 + t ) dt = ò (1 + 3t + 3t + t )dt =
                       3        1
      = tg x + tg 3 x + tg 5 x + tg 7 x + c.
                       5        7
      Правило 6: Если встречаются произведения типа sin m x × cos n x , где
m и n — четные неотрицательные числа, то целесообразно использовать
соотношения:
      cos 2 u = 1 2 (1 + cos 2u); sin 2 u = 1 2 (1 - cos 2u);
      sin 2 u × cos 2 u = 1 4 sin 2 2u = 1 8(1 - cos 4u).
      Примеры:
              2      1                       1 1
      ò sin       7 xdx =
                        ò (1 - cos14 x )dx = - sin14 x + c.
                     2                       2 28
           4         1                  2      1                   2
      ò cos 5 xdx = 4 ò (1 + cos10 x) dx = 4 ò (1 + 2 cos10 x + cos 10 x)dx =
                     1                     1 1
                   = ò (1 + 2 cos10 x + + cos 20 x )dx =
                      4                    2 2
                     3        1             1
                   = x + sin10 x +             sin 20 x + c
                     8       20            160
           2        2            1                     1    1
      ò sin 3 x ×cos 3 xdx = 8 ò (1 - cos12 x)dx = 8 x - 96 sin12 x + c.
      Правило 7: Для произведения можно использовать соотношения:
                         2 sin ax × cos bx = sin(a + b) x + sin(a - b) x
                         2 cos ax × cos bx = cos(a + b) x + cos(a - b) x
                         2 sin ax × sin bx = cos(a - b) x - cos(a + b) x

     Не трудно заметить, что в отличие от дифференциального исчис-
ления, которое конструктивно (есть определенные правила), инте-
гральное исчисление — неконструктивно (вместо правил вводится ряд
                                                                                31

Страницы