Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

прие мов). В этом пла не, ин тег ри ро ва ние бо лее слож ная за да ча, чем
диф фе рен ци ро ва ние. Здесь нуж ны на вы ки и ин туи ция. Мно гие ин те -
гра лы мож но брать толь ко при бли жен но или че рез спе ци аль ные функ -
ции. Су ще ст ву ют многочисленные справочники, где приводятся уже
взятые интегралы.
2.3.2. Оп ре де лен ный ин те грал
1) При оп ре де ле нии по ня тия про из вод ной мы ре ша ли за да чу
о мгно вен ной скорости:
V V
s
t
s t t s t
t
t t t
мгн ср
= = =
+ -
® ® ®
lim lim lim
( ) ( )
0 0 0
D
D
D
D
.
Те перь рас смот рим об рат ную за да чу: пусть нам из вес тен за кон из -
ме не ния мгно вен ной ско ро сти
V V t= ( )
. Нас ин те ре су ют путь S, прой -
ден ный за про ме жу ток вре ме ни
Dt t t= -
2
1
.
Так как дви же ние не яв ля ет ся рав но мер ным, то нель зя про сто
ско рость V ум но жить на
Dt
. Ра зо бьем весь про ме жу ток вре ме ни на боль -
шое чис ло ма лых ин тер ва лов вре ме ни, тогда приближенно:
S V t V t V t
n n
» + + +
1 1
2 2
D D DK
или
S V t t
k k k
k
n
»
=
å
( )D
1
.
Для по лу че ния бо лее точ но го пу ти, на до пе рей ти к пределу:
S V t t
k k k
k
n
=
=
å
lim ( )D
1
Дру гая за да ча — о пло ща ди фи гу ры (кри во ли ней ной тра пе ции),
ог ра ни чен ной кри вой
y f x= ( )
на ин тер ва ле
[ ]
a b,
. Ес ли раз бить ин тер вал
[ ]
a b,
на ма лые про ме жут ки Dх и при нять вы со ту ка ж до го пря мо уголь ни -
ка за
f
k
( )x
, то пло щадь при бли жен но рав на:
S f x
k
k
n
k
»
=
å
( )x
1
D
; в пре де ле, бо лее точ но:
S f x
k k
k
n
=
=
å
lim ( )x D
1
.
Вы ра же ние ти па
f x
k
k
n
k
( )x
=
å
1
D
на зы ва ет ся ин те граль ной сум мой.
32
приемов). В этом плане, интегрирование более сложная задача, чем
дифференцирование. Здесь нужны навыки и интуиция. Многие инте-
гралы можно брать только приближенно или через специальные функ-
ции. Существуют многочисленные справочники, где приводятся уже
взятые интегралы.

      2.3.2. Определенный интеграл

     1) При определении понятия производной мы решали задачу
о мгновенной скорости:
                                                 Ds          s(t + Dt ) - s(t )
                         V мгн = limV ср = lim      = lim                      .
                                t ®0      t ®0   Dt    t ® 0       Dt

     Теперь рассмотрим обратную задачу: пусть нам известен закон из-
менения мгновенной скорости V = V (t ). Нас интересуют путь S, прой-
денный за промежуток времени Dt = t 2 - t 1 .
     Так как движение не является равномерным, то нельзя просто
скорость V умножить на Dt. Разобьем весь промежуток времени на боль-
шое число малых интервалов времени, тогда приближенно:
      S » V1 Dt 1 +V 2 Dt 2 +K+V n Dt n
или
            n
      S » åV k (t k )Dt k .
           k =1

      Для получения более точного пути, надо перейти к пределу:
                   n
      S = lim åV k (t k )Dt k
                  k =1

        Другая задача — о площади фигуры (криволинейной трапеции),
ограниченной кривой y = f ( x ) на интервале [a, b]. Если разбить интервал
[a, b] на малые промежутки Dх и принять высоту каждого прямоугольни-
ка за f (x k ), то площадь приближенно равна:
            n                                                               n
      S » å f (x k )Dx k ; в пределе, более точно: S = lim å f (x k )Dx k .
           k =1                                                            k =1
                                  n
      Выражение типа å f (x k )Dx k называется интегральной суммой.
                                 k =1


32

Страницы