Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

е) Ес ли от ре зок
[ , ]a b
раз бит точ кой c на две час ти
[ , ]a c
и
[ , ]c b
, то:
f x dx f x dx f x dx
c
b
a
c
a
b
( ) ( ) ( )= +
òòò
ж) Ес ли всю ду на от рез ке
[ , ]a b
функ ция
f x( ) ³ 0
, то:
f x dx
a
b
( ) ³
ò
0
.
з) Ес ли всю ду на от рез ке
[ , ]a b
функ ция
f x f x
1
2
( ) ( )£
, то:
f x dx f x dx
a
b
a
b
1
2
( ) ( )£
òò
Тео ре ма 1 (о сред нем): Ес ли функ ции
f x( )
и
j( )x
не пре рыв ны на
от рез ке
[ , ]a b
и функ ция
j( )x
зна ко по сто ян на на нем, то на этом от рез ке
су ще ст ву ет точ ка
x
, та кая, что:
f x x dx f x dx
a
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )× =
ò ò
j x j
В ча ст ном слу чае, ес ли
j( )x =1
, то
f x dx f dx
a
b
a
b
( ) ( )=
òò
x
.
Так как
dx b a
a
b
= -
ò
, то
f x dx f b a
a
b
( ) ( )( )= -
ò
x
.
Гео мет ри че ски это оз на ча ет, что пло щадь кри во ли ней ной тра пе -
ции чис лен но рав на пло ща ди пря мо уголь ни ка с вы со той
f ( )x
.
3) Оп ре де лен ный ин те грал с пе ре мен ным верх ним пре де лом:
f t dt x
a
x
( ) ( )=
ò
F
.
Тео ре ма 2: Про из вод ная оп ре де лен но го ин те гра ла от не пре рыв -
ной Функ ции f(t) по его верх не му пре де лу рав на по дын те граль ной
функ ции с за ме ной пе ре мен ной верх ним пре де лом:
d
dx
f t dt f x
a
x
( ) ( )=
ò
34
      е) Если отрезок [a, b] разбит точкой c на две части [a,c] и [c, b], то:
      b                  c                      b

      ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx
      a                  a                      c

      ж) Если всюду на отрезке [a, b] функция f ( x ) ³ 0, то:
      b

      ò f ( x)dx ³ 0.
      a

      з) Если всюду на отрезке [a, b] функция f1 ( x ) £ f 2 ( x ), то:
      b                      b

      ò   f1 ( x )dx £       òf   2   ( x )dx
      a                      a


      Теорема 1 (о среднем): Если функции f ( x ) и j( x ) непрерывны на
отрезке [a, b] и функция j( x ) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке
существует точка x, такая, что:
                                          b                                b

                                          ò   f ( x ) × j( x )dx = f (x)ò j( x )dx
                                          a                                a

                                                                       b             b
      В частном случае, если j( x ) =1, то ò f ( x )dx = f (x)ò dx .
                                                                       a             a
                   b                                b
      Так как ò dx = b - a, то ò f ( x )dx = f (x)(b - a).
                   a                                a

     Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапе-
ции численно равна площади прямоугольника с высотой f (x).
     3) Определенный интеграл с переменным верхним пределом:
                                                        x

                                                        ò f (t )dt = F( x).
                                                        a


     Теорема 2: Производная определенного интеграла от непрерыв-
ной Функции f(t) по его верхнему пределу равна подынтегральной
функции с заменой переменной верхним пределом:
                                                            x
                                                     d
                                                          f (t )dt = f ( x )
                                                    dx òa

34

Страницы