Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

До ка за тель ст во: Да дим при ра ще ние Dх ар гу мен ту функ ции Ф точ -
ке х и рас смот рим раз ность:
DF F D F
D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x f t dt f t dt
a
x x
a
x
= + - = -
+
ò ò
.
Так как
f t dt f t dt f t dt
x
x x
a
x
a
x x
( ) ( ) ( )= +
++
òòò
DD
, то
DF
D
( ) ( )x f t dt
x
x x
=
+
ò
или, по
тео ре ме о сред нем:
DF D( ) ( )x f x= x
, где
x
— точ ка ме ж ду x и x+Dx.
Раз де лим на Dx и пе рей дем к пре де лу:
lim
( )
lim ( ) ( )
D D
DF
D
x x
x
x
f f x
® ®
= =
0 0
x
,
то есть про из вод ная
¢
=F ( ) ( )x f x
,что и тре бо ва лось до ка зать.
Ана ло гич но:
d
dx
f t dt f x
x
b
( ) ( )= -
ò
Тео ре ма 3: Для вся кой функ ции f(x), не пре рыв ной на от рез ке
[ , ]a b
,
су ще ст ву ет на этом от рез ке пер во об раз ная, а зна чит, су ще ст ву ет не оп -
ре де лен ный интеграл.
До ка за тель ст во: Дей ст ви тель но, по тео ре ме о су ще ст во ва нии оп -
ре де лен но го ин те гра ла, существует функция:
F( ) ( )x f t dt
a
x
=
ò
,
a x b< <
.
Так как
F¢ =( ) ( )x f x
, то эта функ ция яв ля ет ся пер во об раз ной для
функ ции f(x) и
f x dx f t dt c
a
x
( ) ( )= +
òò
.
3) Фор му ла Нью то на — Лейб ни ца.
Пусть F(x) — пер во об раз ная для функ ции f(х) на от рез ке
[ , ]a b
:
f t dt F x c
a
x
( ) ( )= +
ò
Пусть
x a=
, то гда
f t dt F a c
a
a
( ) ( )= +
ò
, то есть
0 = +F a c( )
;
c F a= - ( )
.
35
       Доказательство: Дадим приращение Dх аргументу функции Ф точ-
ке х и рассмотрим разность:
                                                                   x + Dx           x
                  DF( x ) = F( x + Dx ) - F( x ) =                   ò   f (t )dt - ò f (t )dt .
                                                                     a              a

                  x + Dx                  x               x + Dx                             x + Dx
       Так как      ò      f (t )dt = ò f (t )dt +          ò   f (t )dt , то DF( x ) =        ò f (t )dt   или, по
                    a                     a                 x                                  x

теореме о среднем: DF( x ) = f (x)Dx , где x — точка между x и x+Dx.
       Разделим на Dx и перейдем к пределу:
                                          DF( x )
                                lim               = lim f (x) = f ( x ),
                                D x ®0     Dx       D x ®0


то есть производная F¢( x ) = f ( x ),что и требовалось доказать.
      Аналогично:
                                                  b
                                               d
                                                    f (t )dt = - f ( x )
                                              dx òx
     Теорема 3: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b],
существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неоп-
ределенный интеграл.
     Доказательство: Действительно, по теореме о существовании оп-
ределенного интеграла, существует функция:
                                                      x
                                   F( x ) = ò f (t )dt , a < x < b.
                                                      a

       Так как F¢ ( x ) = f ( x ), то эта функция является первообразной для
                                      x
функции f(x) и ò f ( x )dx = ò f (t )dt + c.
                                      a


       3) Формула Ньютона — Лейбница.
       Пусть F(x) — первообразная для функции f(х) на отрезке [a, b]:
                                              x

                                              ò f (t )dt = F ( x) + c
                                              a

                                  a
       Пусть x = a, тогда ò f (t )dt = F (a) + c, то есть 0 = F (a) + c; c = -F (a).
                                  a


                                                                                                                 35

Страницы