Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

При мер:
e dx
e e
t e a e
dt e dx b e e
x
x x
x
x
4 12 34
1
2
0
1
0
1
+ +
=
= = =
= = =
½
½
½
½
½
½
;
;
ò ò
=
+ +
=
dt
t t
e
4 12 34
2
1
=
+ +
=
= + =
= =
= = +
½
½
½
½
½
½
dt
t
u t t
u du dt
t e u e
( )
;
;
;
2 3 25
2 3 1
5 2
2 3
2
½
½
=
+
=
+
½
½
½
=
ò ò
+
1
2
5
2 3
1
2
25
1
10 5
2 3
5
e e
du
u
u
e
arctg
=
+
-
1
10
2 3
5 40
arctg
e p
6) Ин тег ри ро ва ние по час тям в оп ре де лен ном ин те гра ле.
Пусть функ ции
u x= j( )
и
v x= y( )
— не пре рыв ны вме сте со свои -
ми про из вод ны ми на от рез ке
[ , ]a b
:
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j y j y j yx x x x x x
¢
= ¢ + ¢
.
Про ин тег ри ру ем это вы ра же ние в пре де лах от а до b:
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j y j y j yx x dx x x dx x x dx
a
b
a
b
a
b
¢
= ¢ + ¢
ò òò
По фор му ле Нью то на — Лейб ни ца:
[ ( ) ( )] ( ) ( )j y j yx x dx x x
b
a
a
b
¢
=
½
½
½
ò
,
то есть
j y j y j y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x
b
a
x x dx x x dx
a
b
a
b
½
½
½
= ¢ + ¢
òò
или
j y j y j y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x dx x x
b
a
x x dx
a
b
a
b
¢ =
½
½
½
- ¢
ò ò
или
udv uv
b
a
vdu
a
b
a
b
ò ò
=
½
½
½
-
— фор му ла ин тег ри ро ва ния по час тям.
При мер:
x xdx
x u xdx dv
dx du v x
xsin
; sin
; cos
cos
0
2p
ò
=
= =
= = -
½
½
½
½
½
½
= - x xdx
p
p
2
0
0
2
½
½
½
+ =
ò
cos
37
      Пример:
       1
                e x dx       ½t = e x ; a = e 0 = 1 ½ e            dt
      ò0 4e 2 x +12 e x + 34 ½dt = e x dx; b = e 1 = e½½= ò1 4t 2 +12t + 34 =
                            =
                             ½
          e
                         ½u = 2t + 3; t = 1½    2e + 3
               dt        ½u = 5; du = 2dt ½ = 1         du  1     u½2 e + 3
      =ò         2
                       =                          ò    2
                                                           = arctg ½        =
       1 (2t + 3) + 25
                         ½                  ½ 2 5 u + 25 10       5½5
                         ½t = e; u = 2 e + 3½
        1        2e +3 p
      = arctg          -
       10          5     40
     6) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
     Пусть функции u = j( x ) и v = y( x ) — непрерывны вместе со свои-
ми производными на отрезке [a, b]:
                         [j( x )y ( x )]¢ = j¢ ( x )y ( x ) + j( x )y ( x )¢.
      Проинтегрируем это выражение в пределах от а до b:
                 b                         b                     b

                 ò[j( x)y( x)]¢dx = ò j¢( x)y( x)dx + ò j( x)y( x)¢dx
                 a                         a                     a

      По формуле Ньютона — Лейбница:
                              b
                                                                     ½b
                              ò[j( x)y( x)]¢dx = j( x)y( x)½½a,
                              a

то есть
                                      b                     b
                                  ½b
                     j( x )y ( x )½ = ò j¢ ( x )y ( x )dx + ò j( x )y ¢ ( x )dx
                                  ½a a                      a

или
                     b
                                                        ½ b b
                        j( x )y ¢ ( x )dx = j( x )y ( x ½ - j¢( x )y ( x )dx
                                                        )
                     òa                                 ½a a
                                                            ò
    b               b
                ½b
или ò udv = uv½ - ò vdu — формула интегрирования по частям.
    a           ½a a
       Пример:
       p2
                      ½x = u; sin xdx = dv½             p 2 p2
          x sin xdx = ½                   ½ = - x cos x½
                                                       ½ + cos xdx =
       ò0             ½dx = du; v = -cos x½            ½0
                                                            ò0
                                                                                  37

Страницы