ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
При мер:
e dx
e e
t e a e
dt e dx b e e
x
x x
x
x
4 12 34
1
2
0
1
0
1
+ +
=
= = =
= = =
½
½
½
½
½
½
;
;
ò ò
=
+ +
=
dt
t t
e
4 12 34
2
1
=
+ +
=
= + =
= =
= = +
½
½
½
½
½
½
dt
t
u t t
u du dt
t e u e
( )
;
;
;
2 3 25
2 3 1
5 2
2 3
2
½
½
=
+
=
+
½
½
½
=
ò ò
+
1
2
5
2 3
1
2
25
1
10 5
2 3
5
e e
du
u
u
e
arctg
=
+
-
1
10
2 3
5 40
arctg
e p
6) Ин тег ри ро ва ние по час тям в оп ре де лен ном ин те гра ле.
Пусть функ ции
u x= j( )
и
v x= y( )
— не пре рыв ны вме сте со свои -
ми про из вод ны ми на от рез ке
[ , ]a b
:
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j y j y j yx x x x x x
¢
= ¢ + ¢
.
Про ин тег ри ру ем это вы ра же ние в пре де лах от а до b:
[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )j y j y j yx x dx x x dx x x dx
a
b
a
b
a
b
¢
= ¢ + ¢
ò òò
По фор му ле Нью то на — Лейб ни ца:
[ ( ) ( )] ( ) ( )j y j yx x dx x x
b
a
a
b
¢
=
½
½
½
ò
,
то есть
j y j y j y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x
b
a
x x dx x x dx
a
b
a
b
½
½
½
= ¢ + ¢
òò
или
j y j y j y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x dx x x
b
a
x x dx
a
b
a
b
¢ =
½
½
½
- ¢
ò ò
или
udv uv
b
a
vdu
a
b
a
b
ò ò
=
½
½
½
-
— фор му ла ин тег ри ро ва ния по час тям.
При мер:
x xdx
x u xdx dv
dx du v x
xsin
; sin
; cos
cos
0
2p
ò
=
= =
= = -
½
½
½
½
½
½
= - x xdx
p
p
2
0
0
2
½
½
½
+ =
ò
cos
37
Пример: 1 e x dx ½t = e x ; a = e 0 = 1 ½ e dt ò0 4e 2 x +12 e x + 34 ½dt = e x dx; b = e 1 = e½½= ò1 4t 2 +12t + 34 = = ½ e ½u = 2t + 3; t = 1½ 2e + 3 dt ½u = 5; du = 2dt ½ = 1 du 1 u½2 e + 3 =ò 2 = ò 2 = arctg ½ = 1 (2t + 3) + 25 ½ ½ 2 5 u + 25 10 5½5 ½t = e; u = 2 e + 3½ 1 2e +3 p = arctg - 10 5 40 6) Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть функции u = j( x ) и v = y( x ) — непрерывны вместе со свои- ми производными на отрезке [a, b]: [j( x )y ( x )]¢ = j¢ ( x )y ( x ) + j( x )y ( x )¢. Проинтегрируем это выражение в пределах от а до b: b b b ò[j( x)y( x)]¢dx = ò j¢( x)y( x)dx + ò j( x)y( x)¢dx a a a По формуле Ньютона — Лейбница: b ½b ò[j( x)y( x)]¢dx = j( x)y( x)½½a, a то есть b b ½b j( x )y ( x )½ = ò j¢ ( x )y ( x )dx + ò j( x )y ¢ ( x )dx ½a a a или b ½ b b j( x )y ¢ ( x )dx = j( x )y ( x ½ - j¢( x )y ( x )dx ) òa ½a a ò b b ½b или ò udv = uv½ - ò vdu — формула интегрирования по частям. a ½a a Пример: p2 ½x = u; sin xdx = dv½ p 2 p2 x sin xdx = ½ ½ = - x cos x½ ½ + cos xdx = ò0 ½dx = du; v = -cos x½ ½0 ò0 37
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »