Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ес ли функ ция
f x( )
зна ко пе ре мен на на от рез ке
[ , ]a b
, то оп ре де лен -
ный ин те грал
f x dx
a
b
( )
ò
чис лен но ра вен сум ме пло ща дей кри во ли ней ных
тра пе ций ле жа щих над и под осью ОХ (со зна ком
+
и
-
).
Ес ли фи гу ра ог ра ни чен на кри вы ми
y x= j( )
и
y x= y( )
, то ее пло -
щадь мож но вы чис лить как раз ность пло ща дей кри во ли ней ных тра пе -
ций:
[ ]
S x dx x dx x x dx
a
b
a
b
a
b
= - = -
òòò
y j y j( ) ( ) ( ) ( )
.
При ме ры:
а) Вы чис лить пло щадь фи гу ры , ог ра ни чен ной ли ния ми:
y x=
;
x = 3
;
y = 0
.
S xdx x x= =
½
½
½
=
ò
0
3
2
3
3
0
2 3
.
б) Най ти пло щадь фи гу ры, ог ра ни чен ной ли ния ми:
y x=
;
y x=
2
;
x = 2
.
( )
S x x dx
x x
= - = -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
½
½
½
=
ò
2
3 2
1
2
3 2
2
1
5
6
.
39
y
2 x 0 
         Если функция f ( x ) знакопеременна на отрезке [a, b], то определен-
                 b
ный интеграл ò f ( x )dx численно равен сумме площадей криволинейных
                 a

трапеций лежащих над и под осью ОХ (со знаком + и -).
     Если фигура ограниченна кривыми y = j( x ) и y = y( x ), то ее пло-
щадь можно вычислить как разность площадей криволинейных трапе-
ций:
                          b                b           b
                     S = ò y ( x )dx - ò j( x )dx = ò [y ( x ) - j( x )]dx .
                          a                a           a

       Примеры:
       а) Вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями: y = x ;
x = 3; y = 0.




                                       3
                                                   2    ½3
                              S = ò xdx =            x x½ = 2 3.
                                       0
                                                   3    ½0
         б) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x ; y = x 2 ;
x = 2.
                               y




                                   0                       2   x
                              2
                                             æ x 3 x 2 ö½2 5
                                  (
                         S = ò x 2 - x dx = çç )  -    ÷½ = .
                                                    2 ÷ø½1 6
                             1               è 3
                                                                               39

Страницы