Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

= =
½
½
½
=
ò
cos sinxdx x
p
p 2
2
0
1
0
Ин тег ри ро ва ние в сим мет рич ных пре де лах.
а)
f x dx f x dx
a
a
a
( ) ( )=
òò
-
2
0
, ес ли f(x) — чет ная функ ция.
б)
f x dx
a
a
( ) =
-
ò
0
, ес ли f(x) — не чет ная функ ция.
2.3.3. Гео мет ри че ские при ло же ния оп ре де лен но го интеграла
1) Пло щадь пло ской фи гу ры.
Пусть Т — пло ская фи гу ра. Мно го уголь ник Q, со дер жа щий фи гу -
ру Т, на зы ва ет ся опи сан ным око ло фи гу ры Т.
Мно го уголь ник q со дер жа щий ся в фи гу ре Т, на зы ва ет ся впи сан -
ным в фи гу ру Т.
Ес ли су ще ст ву ет по сле до ва тель но сти опи сан ных и впи сан ных в
фи гу ру Т мно го уголь ни ков (со от вет ст вен но Q
1
, Q
2
,...,Q
n
и q
1
, q
2
,…q
n
та -
ких, что по сле до ва тель но сти их пло ща дей име ют об щий пре дел:
lim . lim .
n
n
n
n
Q q S
®¥ ®¥
= =пл пл
,
то фи гу ра Т на зы ва ет ся квад ри руе мой, а этот об щий пре дел на зы ва ет ся
пло ща дью фи гу ры Т.
Пло щадь кри во ли ней ной тра пе ции рав на пре де лу пло ща дей опи -
сан ной и впи сан ной сту пен ча тых фи гур, то есть квад ри руе ма:
S f x dx
a
b
=
ò
( )
.
38
         p2
                              ½p 2
     =    ò cos xdx = sin x½½0
          0
                                      =1

     Интегрирование в симметричных пределах.
          a               a
     а)   ò    f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx , если f(x) — четная функция.
          -a              0
           a
     б)   ò f ( x)dx = 0, если f(x) — нечетная функция.
          -a



     2.3.3. Геометрические приложения определенного интеграла

     1) Площадь плоской фигуры.




      Пусть Т — плоская фигура. Многоугольник Q, содержащий фигу-
ру Т, называется описанным около фигуры Т.
      Многоугольник q содержащийся в фигуре Т, называется вписан-
ным в фигуру Т.
      Если существует последовательности описанных и вписанных в
фигуру Т многоугольников (соответственно Q1, Q2,...,Qn и q1, q2,…qn та-
ких, что последовательности их площадей имеют общий предел:

                               lim пл.Qn = lim пл.q n = S ,
                               n ®¥                 n ®¥

то фигура Т называется квадрируемой, а этот общий предел называется
площадью фигуры Т.
     Площадь криволинейной трапеции равна пределу площадей опи-
санной и вписанной ступенчатых фигур, то есть квадрируема:
                                                b
                                           S = ò f ( x )dx .
                                                a


38

Страницы