Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Та ким об ра зом:
f t dt F x F a
a
x
( ) ( ) ( )= -
ò
.
В ча ст но сти, для
x b=
:
f t dt F b F a
a
b
( ) ( ) ( )= -
ò
— это фор му ла Нью то -
на-Лейб ни ца, вы ра жаю щая оп ре де лен ный ин те грал че рез не оп ре де лен -
ный:
f x dx F x
b
a
a
b
( ) ( )=
½
½
½
ò
Оп ре де лен ный ин те грал от не пре рыв ной функ ции ра вен раз но -
сти зна че ний лю бой ее пер во об раз ной, вы чис лен ной для верх не го и
ниж не го пределов интегрирования.
При ме ры:
а)
dx
x
x
2
1
1
1
1
1
1 1
2
+
=
-
½
½
½
= - - =
-
ò
arctg arc tg arctg( )
p
б)
( ) ( )3 1
2
0
2 2 6
2 3 3
0
2
x dx x x- = -
½
½
½
= - =
ò
.
5) За ме на пе ре мен ной в оп ре де лен ном ин те гра ле.
Тео ре ма 5: Ес ли функ ция
j( )t
не пре рыв на вме сте со сво ей про из -
вод ной
j¢ ( )t
на от рез ке
[ , ]c d
и
j( )c a=
;
j( )d b=
, то:
[ ]
f x dx f t t dt
c
d
a
b
( ) ( ) ( )= ¢
òò
j j
.
До ка за тель ст во:
С од ной сто ро ны
f x dx F b F a
a
b
( ) ( ) ( )= -
ò
.
С дру гой сто ро ны
f t t dt F d F c F b F a
c
d
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )j j j j¢ = - = -
ò
.
Зна чит:
f x dx f t t dt
c
d
a
b
( ) ( ( )) ( )= ¢
òò
j j
.
36
                           x
     Таким образом: ò f (t )dt = F ( x ) - F (a).
                           a
                                            b
     В частности, для x = b: ò f (t )dt = F (b) - F (a) — это формула Ньюто-
                                            a

на-Лейбница, выражающая определенный интеграл через неопределен-
ный:
                                        b
                                                             ½b
                                        ò f ( x)dx = F ( x)½½a
                                        a


      Определенный интеграл от непрерывной функции равен разно-
сти значений любой ее первообразной, вычисленной для верхнего и
нижнего пределов интегрирования.
     Примеры:
          1
               dx            ½1                       p
     а)   òx   2
                    = arctg x½ = arctg1 - arctg(-1) =
          -1     +1          ½-1                      2
        2
                                    ½2
     б) ò (3 x 2 -1)dx = ( x 3 - x )½ = 2 3 - 2 = 6.
        0                           ½0

     5) Замена переменной в определенном интеграле.
     Теорема 5: Если функция j(t ) непрерывна вместе со своей произ-
водной j¢(t ) на отрезке [c,d] и j(c) = a; j(d) = b, то:
                               b                 d

                               ò    f ( x )dx = ò f [ j(t )]j¢ (t )dt .
                               a                 c


     Доказательство:
                               b
     С одной стороны ò f ( x )dx = F (b) - F (a).
                               a
                                d
     С другой стороны ò f (j(t ))j¢ (t )dt = F (j(d)) - F (j(c)) = F (b) - F (a).
                                c
                  b            d
     Значит: ò f ( x )dx = ò f (j(t ))j¢ (t )dt .
                  a            c


36

Страницы