Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2. Казанцев Э.Ф. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МУМ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2) Пло щадь кри во ли ней но го сек то ра.
Рас смот рим фи гу ру, ог ра ни чен ную уг ла ми a и b и по ляр ным ра -
диу сом
r j= f ( )
,
a j b£ £
.
Ра зо бьем ее на ряд сек то ров с уг ла ми:
Dj j j
1 1
0
= -
;
Dj j j
2 2 0
= -
.
Пло щадь ка ж до го кру го во го сек то ра для наи боль ших и наи мень -
ших ра диу сов R
i
и r
i
:
R
i
i
2
2
Dj
и
r
i
i
2
2
Dj
Пло щадь опи сан ной фи гу ры:
пл.Q
R
i
i
i
n
=
=
å
2
1
2
Dj
.
Пло щадь впи сан ной фи гу ры:
пл.q
r
i
i
i
n
=
=
å
2
1
2
Dj
.
Уст ре мим
Dj ® 0
, то гда в пре де ле:
lim lim ( )
R r
f d d
i
i
i
n
i
i
i
n
2
1
2
1
2 2
2 2
1
2
1
2
D Dj j j j r j
a
b
= =
å å
= = =
òò
a
b
При мер :
Пло щадь кар дио и ды
r j= +a( cos )1
40
y
x
2 
      2) Площадь криволинейного сектора.




     Рассмотрим фигуру, ограниченную углами a и b и полярным ра-
диусом r = f (j), a £ j £ b.
     Разобьем ее на ряд секторов с углами: Dj1 = j1 - j 0 ; Dj 2 = j 2 - j 0 .
     Площадь каждого кругового сектора для наибольших и наимень-
ших радиусов Ri и ri:
                               Ri2       r2
                                   Dj i и i Dj i
                                2         2
                                             Ri2   n
      Площадь описанной фигуры: пл.Q = å         Dj i .
                                         i =1 2
                                          n r2
      Площадь вписанной фигуры: пл.q = å i Dj i .
                                        i =1 2

      Устремим Dj ® 0, тогда в пределе:
                                                b           b
                n  Ri2              n r2
                                            1             1
           lim å       Dj i = lim å i Dj i = ò f 2 (j)dj = ò r 2 dj
               i =1 2             i =1 2    2a            2a

      Пример :
      Площадь кардиоиды r = a(1 + cos j)

                           y




                                            2          x




40

Страницы